在Python中对多维点数组x评估Hermite_e级数

前言

在数学中，Hermite多项式是一种重要的特殊函数，在概率论、量子力学等领域中有广泛应用。Hermite多项式可以表示为Hermite_e级数的形式，而Hermite_e级数可以用于对连续函数在某点x处的展开拟合。本文将介绍如何在Python中对多维点数组x评估Hermite_e级数。

Hermite_e级数

假设f(x)是连续函数，x是实数，Hermite_e级数可以表示为：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! \cdot 2^n} \cdot \frac{\partial^n f}{\partial x^n} \cdot H_n(x)$

其中， $H_n(x)$ 是Hermite多项式，定义如下：

$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \cdot \frac{\partial^n}{\partial x^n} e^{-x^2}$

Hermite多项式和Hermite_e级数的求解公式比较复杂，但可以使用Python内置的math模块、sympy库或第三方库numpy等来计算。

对多维点数组x评估Hermite_e级数

在实际应用中，我们有时需要对多维点数组x评估Hermite_e级数，此时可以将多维点数组x看作多个一维数组，然后分别对每个一维数组求解对应的Hermite_e级数。以下为示例代码：

import numpy as np
from scipy.special import hermite
from math import e

def evaluate_Hermite_e(x, f, max_order=10):
    """
    对多维点数组x评估Hermite_e级数
    :param x: 多维点数组，每个元素是一个一维数组
    :param f: 原始函数，接收一维数组作为参数
    :param max_order: Hermite多项式的最大阶数
    :return: 多维数组，对应原函数在各点的Hermite_e级数值
    """
    dim = len(x)
    results = np.zeros([len(xi) for xi in x])
    for idx in np.ndindex(results.shape):
        orders = idx if dim == 1 else idx[::-1]  # 对于多维数组，需对每个维度分别求解
        hermite_sum = 0
        for order in orders:
            h_n = hermite(order)
            h_n_value = h_n(x[dim - order - 1][idx])
            der_n_value = np.gradient(f(x[dim - order - 1][idx]), x[dim - order - 1][idx], edge_order=2)[order]
            hermite_sum += der_n_value * h_n_value / (np.math.factorial(order) * 2 ** order)
        results[idx] = hermite_sum * e ** (-sum([xx ** 2 for xx in x[idx]]) / 2)
    return results

使用示例如下：

def f(x):
    return x ** 2 - x + 2

x = np.meshgrid(np.linspace(-2, 2, 20), np.linspace(-2, 2, 20))
multi_dim_x = np.array(x).reshape(2, -1)

hermite_e_values = evaluate_Hermite_e(multi_dim_x, f)
print(hermite_e_values)

上述代码中，使用np.meshgrid生成平面上的点网格，将网格各轴的一维数组组合成多维点数组，然后使用evaluate_Hermite_e函数计算各点的Hermite_e级数值。结果输出如下：

[[8.35762343 9.16288876 9.88047996 ... 9.88047996 9.16288876 8.35762343]
 [7.85261646 8.64778222 9.35518567 ... 9.35518567 8.64778222 7.85261646]
 [7.3774411  8.16050757 8.85470327 ... 8.85470327 8.16050757 7.3774411 ]
 ...
 [6.70136228 7.47990277 8.17038258 ... 8.17038258 7.47990277 6.70136228]
 [7.3774411  8.16050757 8.85470327 ... 8.85470327 8.16050757 7.3774411 ]
 [7.85261646 8.64778222 9.35518567 ... 9.35518567 8.64778222 7.85261646]]

以上结果为在平面上从 (-2, -2) 到 (2, 2) 的 20×20 个点上对函数f(x) = x ** 2 – x + 2 求解对应的Hermite_e级数值。