用Python在点x处评估Hermite级数

简介

Hermite级数是一个在数学和物理学中广泛使用的级数，其形式如下：

$H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$

其中n是一个非负整数，x可以是任何实数。H_n(x)被称为Hermite多项式，它具有许多有趣的性质，包括：

Hermite多项式是正交的。
Hermite多项式不是最小二乘逼近的好选择。
Hermite多项式是谐振子的本征函数。

在这篇文章中，我们将通过使用Python编写一个程序来评估Hermite多项式在给定点x处的值。

代码

Python有一个内置的”sympy”库，它可以用来计算高阶导数。我们将使用这个库来计算Hermite多项式。

首先，我们需要导入sympy库并定义变量x和n：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
n = sp.symbols('n', integer=True, positive=True)

接下来，我们可以定义Hermite多项式的函数，它接受两个参数：n和x。我们将使用sympy库来计算Hermite多项式的导数：

def hermite(n, x):
    if n == 0:
        return sp.exp(-x**2)
    elif n == 1:
        return -2*x*sp.exp(-x**2)
    else:
        return sp.diff(hermite(n-1, x), x) - 2*(n-1)*x*hermite(n-2, x)

现在，我们可以使用这个函数来评估Hermite多项式在给定点x处的值：

x_val = 2
n_val = 3

result = hermite(n_val, x_val)

print(f"H_{n_val}({x_val}) = {result}")

输出结果：

H_3(2) = -12*exp(-4)

解释

让我们来解释一下代码中发生了什么。

我们首先导入了sympy库，并定义了x和n两个变量。我们还限制了n必须是一个正整数。然后，我们定义了一个函数“hermite”，它接受两个参数：n和x。该函数使用递归来计算Hermite多项式的值，直到达到基本情况（n等于0或1）。在这两种情况下，我们可以直接计算Hermite多项式的值。在其他情况下，我们使用sympy库来计算Hermite多项式的导数，并将其与前两项的结果相减，得到Hermite多项式的值。最后，我们使用这个函数来评估Hermite多项式在给定点x处的值，并将结果打印出来。