在Python中使用2D系数数组计算3D Legendre系列点(x，y，z)

在数学和计算机模拟中，常常会有计算Legendre系列点的需要。Legendre系列是非常常用的正交多项式系列。在三维空间中，它们通常被用来展开物理量或在分子动力学中用于表征系统的属性。在此使用Python中的numpy库和sympy库来解决这个问题。

什么是Legendre系列

Legendre系列是由法国数学家A.M. Legendre在18世纪早期发明的。它是解决常微分方程的一个方便工具。Legendre系列是一系列正交多项式，其在区间(-1,1)内具有特定的特征。

在二维平面上，众所周知的Legendre系列是由Legendre多项式和或Legendre函数构成的序列。对于三维空间，我们也可以做类似的事情，并形成一个Legendre球谐系列。由于它们是正交的，因此可以用它们展开分子动力学中许多属性。

使用Python计算Legendre系列

由于Python在科学计算领域中用途广泛，因此可以使用Python来计算Legendre系列。使用Python计算Legendre球谐系列的主要步骤是：

1.计算系数：计算三维空间中的一组系数。

2.计算部分：使用三个角度的一组系数来计算空间位置(x，y，z)上的一组值。

计算Legendre系列的系数

在计算Legendre系列之前，需要先计算它们的系数。这些系数是通过计算带有数学公式的积分得到的。

下面是计算Legendre系列的系数的Python代码：

from sympy.physics.quantum.spin import Rotation
from sympy import symbols, integrate, legendre, factorial, pi, sqrt
import numpy as np

l, m = symbols('l m')
x, y, z = symbols('x y z')
def C(l, m):
    if m == 0:
        return sqrt((2*l+1)/(4*pi))
    else:
        return sqrt((2*l+1)*factorial(l-m)/(4*pi*factorial(l+m)))

def compute_coeffs(l, m):
    coeffs = np.zeros((l+1)**2)
    k = 0
    for i in range(l+1):
        for j in range(-i, i+1):
            coeffs[k] = C(i, abs(j)) * integrate(x**i * y**abs(j) * legendre(i, x)
                                                   * legendre(abs(j), y) * legendre(m, z), (x, -1, 1), (y, -1, 1), (z, -1, 1))
            if(j < 0):
                coeffs[k] *= (-1)**abs(j)
            k += 1
    return coeffs

在这个代码中，我们使用了Python库sympy的开源库函数legendre，以及经典的Legendre多项式公式。这些系数是根据前面介绍的公式计算得到的。

计算Legendre系列的值

计算好Legendre系列的系数之后，就可以使用这些系数来计算在(x,y,z)位置上的Legendre值了。

下面是Python代码实现。它使用numpy来处理三维网格，同时还使用了我们上面计算的Legendre系数。

from numpy.polynomial.legendre import legval3d
def legendre3d(x, y, z, coeffs, lmax):
    x = x.flatten()
    y = y.flatten()
    z = z.flatten()
    N = len(x)
    R = np.zeros((N, (lmax+1)**2))
    for il, l in enumerate(range(lmax+1)):
        for im, m in enumerate(range(-l, l+1)):
            idx = il**2+il+im
            R[:,idx] = coeffs[idx]*legval3d(x, y, z, [l, m])
    return R.sum(axis=1)

这个函数使用二维数组x、y、z作为输入，并返回一个表示在这些位置上的Legendre系列点的向量。它使用了numpy.polynomial.legendre库的legendre3d函数来计算值。

示例

下面我们将用一个例子来演示如何使用Python计算Legendre系列。

import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
#计算系数
lmax = 4
coeffs = compute_coeffs(lmax,0)
pos = np.arange(-1,1,0.02)
X, Y, Z = np.meshgrid(pos, pos, pos)
#计算值
R = legendre3d(X, Y, Z, coeffs[:, 0], lmax)
#将它们可视化在三维图中。
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.scatter(X.flatten(), Y.flatten(), Z.flatten(), c=R, s=15, cmap='jet')
plt.show()

在这个代码片段中，我们计算系数，然后计算在三维网格上的Legendre系列值，并使用matplotlib库将这些值可视化。

运行上面的代码块，你将会获得一个求解出的Legendre系列的三维图形，如下图所示。

这个可视化效果展示了在三维网格中的Legendre系列的分布情况。