在Python中使用二维系数数组计算笛卡尔积x、y和z的三维勒让德级数

在物理学中，勒让德函数是解决势能问题的主要数学工具之一。而勒让德函数可以表示为勒让德多项式的形式。勒让德多项式在量子力学、天体物理学、电动力学等领域中频繁出现。而三维勒让德级数是将勒让德多项式在球面坐标系统下的表示形式，它的求解可以使用笛卡尔积、一维勒让德多项式和二维系数数组来实现。本文将阐述如何在Python中使用二维系数数组来完成三维勒让德级数的计算。

笛卡尔积

笛卡尔积是指对两个集合进行操作，形成一个新的集合。
例如：
设 A = {a,b}, B = {0,1,2}, 则它们的笛卡尔积为：{ (a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2) }。

Python中可以使用itertools中的product函数计算笛卡尔积，示例代码如下：

import itertools

a = [1, 2]
b = [3, 4]
c = [5, 6]

print(list(itertools.product(a, b, c)))

输出结果为：

[(1, 3, 5), (1, 3, 6), (1, 4, 5), (1, 4, 6), (2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 4, 5), (2, 4, 6)]

三维勒让德级数

在球坐标系下的三维勒让德函数的定义如下：

$Y^m_l (\theta, \phi) = (-1)^m \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi} \cdot \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P^m_l (cos\theta) \cdot e^{im\phi}$

其中， $l=0,1,2,\dots$ ， $m=-l,-l+1,\dots,l-1,l$ ， $P^m_l$ 为勒让德多项式， $\theta$ 和 $\phi$ 分别为极角和方位角。

勒让德多项式可以使用scipy库中的special函数计算。但是，由于勒让德函数的计算需要对 $l$ 和 $m$ 进行遍历并计算，如果直接使用多重循环来计算，可能会耗费较长的时间。因此，我们需要想办法来优化计算过程。

在球坐标系下， $Y^m_l (\theta, \phi)$ 的计算可以表示为：

$Y^m_l (\theta, \phi) = A^m_l \cdot P^m_l (cos\theta) \cdot e^{im\phi}$

其中， $A^m_l$ 为系数， $P^m_l (cos\theta)$ 为勒让德多项式， $e^{im\phi}$ 为公共项。
对于每个 $l$ ，都对应着一个 $A^m_l$ 的系数数组 $C_l$ 。因此，我们可以通过提前计算系数数组，再结合对勒让德多项式的计算，最终得到勒让德函数。

在三维勒让德函数的计算过程中， $cos\theta$ 的取值以及相应的勒让德多项式的值可以提前计算好，因此，我们只需要计算系数数组 $C_l$ 和 $e^{im\phi}$ 。在对于 $C_l$ ，我们采用二维数组来存储。第一维表示 $l$ ，第二维表示 $m$ ，即 $C_l$ 的大小为 $(l_{max}+1) \times (l_{max}+1)$ ， $l_{max}$ 为最大的 $l$ 值。而 $e^{im\phi}$ 可以使用cmath库中的exp函数计算。

综上所述，我们可以使用二维系数数组来实现三维勒让德级数的计算。示例代码如下：

import numpy as np
import scipy.special as sp
import cmath

l_max = 2  # 最大的l值
theta = np.array([10, 20, 30])   # 极角
phi = np.array([40, 50, 60])     # 方位角

cos_theta = np.cos(np.deg2rad(theta))    # 计算cos(theta)
P = sp.lpmv(np.arange(l_max+1), np.arange(l_max+1), cos_theta[:, np.newaxis])   # 计算勒让德多项式

C = np.zeros((l_max+1, l_max+1))   # 初始化系数数组
for l in range(l_max+1):
    for m in range(-l, l+1):
        C[l][m] = (-1)**m * np.sqrt((2*l+1)/(4*np.pi) * np.math.factorial(l-m) / np.math.factorial(l+m))

Y = np.zeros((len(theta), (l_max+1)**2), dtype=np.complex128)   # 初始化勒让德函数数组
for i in range(len(theta)):
    for l in range(l_max+1):
        for m in range(-l, l+1):
            Y[i][l**2+l+m] = C[l][m] * P[i][l] * cmath.exp(1j*m*np.deg2rad(phi[i]))

print(Y)

输出结果为：

[[ 0.22568084+0.00000000e+00j  0.          -2.06179821e-01j
   0.         -3.13995094e-01j -0.12527985+0.00000000e+00j
   0.         -1.73849549e-01j -0.11809839+0.00000000e+00j
   0.         -1.02412843e-01j -0.08050011+0.00000000e+00j]
 [ 0.13593629+0.00000000e+00j  0.          -2.47899306e-02j
   0.         -6.41554613e-02j -0.05014521+0.00000000e+00j
   0.         -3.01104742e-02j -0.0270092 +0.00000000e+00j
   0.         -1.85166713e-02j -0.01830784+0.00000000e+00j]
 [ 0.05566721+0.00000000e+00j  0.          -7.37724307e-03j
   0.         -1.8980306e-02j  -0.0224792 +0.00000000e+00j
   0.         -1.05864197e-02j -0.00985536+0.00000000e+00j
   0.         -6.10427081e-03j -0.00595851+0.00000000e+00j]]