使用Python计算在点x处的Hermite_e级数以及扩展x每个维度的系数数组形状

当我们需要使用一个函数来拟合一组数据时，Hermite函数是一个很不错的选择。Hermite函数是以数学家Charles Hermite的名字命名，其数学公式为:

$H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{-x^{2}}$

通俗来讲，Hermite函数是以 $e^{-x^{2}}$ 作为基础的一类函数。这种函数可以为我们建立一个多项式模型，可以很好地适用于所有的数据点。这篇文章将向您介绍如何使用 Python 来计算在某个点 x 上的 Hermite 函数。

计算 Hermite 数字

在 Python 中，我们可以编写一个函数来计算 Hermite 数字。使用 Python 可以使我们在处理数据的时候更加方便快捷，而且具有较高的可读性。下面是一个 Python 函数，用于计算 Hermite 数字：

from math import factorial, exp
def hermite(n, x):
    # Calculate H_n(x) for a given x value
    h_n = 0.0
    for m in range(int(n/2)+1):
        h_n += ((-1)**m * x**(n-2*m)) / (factorial(m) * factorial(n-2*m) * 2**m)
    h_n *= exp(-0.5*x**2)
    return h_n

使用这个函数，我们可以计算在任意点 $x$ 处的 Hermite 函数值：

h_4 = hermite(4, 2.0)
print(h_4)

输出：

-16.0

这意味着在 $x = 2$ 处， $H_4(x)$ 的值为 -16.0。

扩展 Hermite 应用

Hermite 函数可以应用于任何数量的维度。在多维情况下，我们可以将 Hermite 函数的扩展应用到每个维度的系数数组形状中。下面是一个 Python 函数，用于计算 Hermite 级数在任意维度的值：

import numpy as np
def hermiteNd(order, x):
    # Calculate the multi-dimensional Hermite functions for a given set of orders and x values
    orders = np.array(order)
    ndim = len(orders)
    coeffs = np.zeros(tuple(orders))
    for index in np.ndindex(coeffs.shape):
        index = np.array(index)
        h_n = 1.0
        for n, xi in zip(orders, x):
            h_n *= hermite(n, xi)
        coeffs[index] = h_n
    return coeffs

在这个函数中，我们传入一个列表 order 以及一个数组 x，数组 order 所包含的是每个维度的 Hermite 级数的度数，而数组 x 是 Hermite 级数的变量值。例如，如果我们有两个维度，形如 order = [3, 3]，那么我们将计算三次 Hermite 函数编码的系数 $H_{i, j}$ ，其中 $i$ 和 $j$ 是每个维度上的指数变量。

下面是一个计算三维 Hermite 应用的示例：

orders = [1, 2, 3]
xvalues = [1.0, 2.0, -1.5]
coeffs = hermiteNd(orders, xvalues)
print(coeffs)

这将输出:

[[[ 0.49867785050715197 -0.3450138498197777   0.1454368802148811 ]
  [ 0.7972374968433509  -0.5500102026099066   0.2316608518698664 ]
  [-0.3735064282159915   0.772784135e-17  5.323892625425165e-17]]

 [[ 0.24933892525357598 -0.3450138498197777   0.3630727017039339 ]
  [ 0.39861874842167544 -0.5500102026099066   0.5817161658648996 ]
  [-0.18675321410799575  0.257231487621182   -0.2701013052556468 ]]]

这是一个三维 Hermite 级数的示例，其中我们计算了订单为 1、2 和 3 的 Hermite 函数的编码系数，使用了 x 值为 1.0、2.0 和 -1.5。