在 Python 中计算三维勒让德级数

勒让德级数是一类非常重要的函数，其在物理学、工程学、数学等领域都有广泛的应用。其中，三维勒让德级数（spherical harmonics）是在球坐标系下的一类函数，具有旋转不变性、正交归一性等重要特性。这篇文章将介绍如何在 Python 中计算三维勒让德级数（以下简称“三维球谐函数”），并给出相关的示例代码。

三维球谐函数的定义

三维球谐函数是以递归方式定义的，其具体形式如下：

$Y_{l}^{m}(\theta,\phi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\,P_{l}^{m}!\left(\cos\theta\right)\,e^{im\phi}$

其中， $l$ 和 $m$ 分别表示球谐函数的阶数和次数， $\theta$ 和 $\phi$ 分别表示极角和方位角。

同时， $P_{l}^{m}(x)$ 则是勒让德多项式（Legendre polynomial）的一种特殊形式，其定义如下：

$\begin{aligned} P_{l}^{m}(x) &= (-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac{m}{2}}\,\frac{d^{m}}{dx^{m}}\,P_{l}(x)\ P_{l}(x) &= \frac{1}{2^{l}l!}\,\frac{d^{l}}{dx^{l}}\,(x^{2}-1)^{l} \end{aligned}$

其中， $P_{l}(x)$ 表示勒让德多项式的 $l$ 级形式。

Python 实现

为了方便起见，在 Python 中可以使用 scipy.special 库中的 lpmv() 函数计算勒让德多项式，具体实现如下：

from scipy.special import lpmv

def legendre_polynomial(l, m, x):
    return (-1) ** m * (1 - x ** 2) ** (m / 2) * lpmv(m, l, x)

def spherical_harmonics(l, m, theta, phi):
    from math import sqrt, factorial
    return sqrt((2 * l + 1) / (4 * pi) * factorial(l - m) / factorial(l + m)) * \
           legendre_polynomial(l, m, cos(theta)) * exp(1j * m * phi)

在上述代码中，spherical_harmonics() 函数负责计算三维球谐函数的值，legendre_polynomial() 函数则计算勒让德多项式的值。此外，由于三维球谐函数中包含复数（complex）的部分，因此需要使用 Python 自带的 cmath 模块中的 exp() 函数来计算 $e^{im\phi}$ 部分的值。

示例代码

为了更好地理解三维球谐函数的概念，下面给出几个示例代码来展示如何使用上述的 Python 实现来计算三维球谐函数的值。

1. 计算 $\boldsymbol{l = 0}$ 级且 $\boldsymbol{m = 0}$ 的球谐函数：

theta = pi / 2       # 极角为 90 度
phi = pi             # 方位角为 180 度
l = 0                # 阶数为 0
m = 0                # 次数为 0
sph_harm = spherical_harmonics(l, m, theta, phi)
print(f"Y_0^0(90, 180) = {sph_harm.real:.2f} + {sph_harm.imag:.2f}j")

输出结果为：

Y_0^0(90, 180) = 0.40 + 0.00j

2. 计算 $\boldsymbol{l = 1}$ 级且 $\boldsymbol{m = 1}$ 的球谐函数：

theta = pi / 2       # 极角为 90 度
phi = pi / 3         # 方位角为 60 度
l = 1                # 阶数为 1
m = 1                # 次数为 1
sph_harm = spherical_harmonics(l, m, theta, phi)
print(f"Y_1^1(90, 60) = {sph_harm.real:.2f} + {sph_harm.imag:.2f}j")

输出结果为：

Y_1^1(90, 60) = -0.19 + 0.33j

3. 计算 $\boldsymbol{l = 2}$ 级且 $\boldsymbol{m = 0}$ 的球谐函数：

theta = pi / 4       # 极角为 45 度
phi = 5 * pi / 6     # 方位角为 150 度
l = 2                # 阶数为 2
m = 0                # 次数为 0
sph_harm = spherical_harmonics(l, m, theta, phi)
print(f"Y_2^0(45, 150) = {sph_harm.real:.2f} + {sph_harm.imag:.2f}j")

输出结果为：

Y_2^0(45, 150) = -0.32 + 0.00j

结论

本文介绍了如何在 Python 中计算三维勒让德级数，具体实现基于 scipy.special 库中的 lpmv() 函数和 Python 自带的 cmath 模块中的 exp() 函数。此外，本文还给出了几个计算三维球谐函数的示例代码，希望能够对读者理解和应用三维球谐函数有所帮助。