在Python中对点x和每个维度的x的系数数组的形状进行扩展，评估Chebyshev系列

在数学中，Chebyshev多项式是一组以 $T_n(x)$ 表示的多项式，其中 $n$ 是非负整数。这些多项式由数学家Pafnuty Chebyshev于19世纪中叶发明，具有许多重要性质，并在科学和工程中具有广泛的应用。

在本文中，我们将探讨如何在Python中评估Chebyshev多项式，并对点 $x$ 和每个维度 $x$ 的系数数组的形状进行扩展。

Chebyshev多项式

Chebyshev多项式是在区间 $[-1, 1]$ 上定义的。第n个Chebyshev多项式是在 $[-1, 1]$ 上的多项式函数 $T_n(x)$ ，定义如下：

$T_n(x) = cos(n * acos(x))$

其中 $acos$ 是反余弦函数。

尽管可以通过数学方法计算Chebyshev多项式，但在Python中，我们可以使用库函数来快速计算。

以下是使用Numpy库计算前5个Chebyshev多项式的代码：

import numpy as np

x = np.arange(-1, 1, 0.1)  # 定义x的范围
n = 5  # 计算前5个Chebyshev多项式

# 计算前5个Chebyshev多项式
T = np.zeros((n, len(x)))
T[0, :] = 1
T[1, :] = x
for i in range(2, n):
    T[i, :] = 2 * x * T[i - 1, :] - T[i - 2, :]

# 画出前5个Chebyshev多项式
import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(8, 6))
for i in range(n):
    plt.plot(x, T[i, :], label=f' $T_{i}(x)$ ')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('T_n(x)')
plt.title('前5个Chebyshev多项式')
plt.show()

图中的蓝色曲线表示 $T_0(x)$ ，红色曲线表示 $T_1(x)$ ，绿色曲线表示 $T_2(x)$ ，橙色曲线表示 $T_3(x)$ ，紫色曲线表示 $T_4(x)$ 。

扩展点 $x$ 和系数数组

当我们需要计算多维Chebyshev多项式时，需要将点 $x$ 和每个维度的系数数组的形状进行扩展。

以下是一个例子，假设我们要计算 $T_2(x_1, x_2)$ ，其中 $-1 \leq x_1 \leq 1$ ， $-1 \leq x_2 \leq 1$ ：

import numpy as np

x1 = np.arange(-1, 1, 0.1)
x2 = np.arange(-1, 1, 0.1)
n = 3  # 计算前3个Chebyshev多项式

# 扩展点x1和x2的形状
X1, X2 = np.meshgrid(x1, x2)

# 扩展系数数组的形状
C = np.zeros((n, n))
C[0, 0] = 1
C[1, 1] = 1
C[2, 2] = 1

# 计算多维Chebyshev多项式
T = np.zeros_like(X1)
for i in range(n):
    for j in range(n):
        T += C[i, j] * np.cos(i * np.arccos(X1)) * np.cos(j * np.arccos(X2))

# 画出多维Chebyshev多项式
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X1, X2, T)
ax.set_xlabel('x1')
ax.set_ylabel('x2')
ax.set_zlabel('T_2(x1, x2)')
ax.set_title('T_2(x1, x2)')
plt.show()

图中的坐标轴 $x_1$ 和 $x_2$ 表示点的位置，坐标轴 $T_2(x_1, x_2)$ 表示多维Chebyshev多项式的值。