在Python中使用2D系数数组在点（x，y，z）处评估3D Laguerre系列

Laguerre系列是一组多项式，通常由拉盖尔方程生成。它们在量子力学和光学等物理学领域中有广泛的应用。在本文中，我们将学习如何使用Python中的2D系数数组在点（x，y，z）处评估3D Laguerre系列。

什么是Laguerre多项式？

Laguerre系列是一个形式为 L_{n}^{k}(x) 的多项式序列，其中 n 是多项式的次数，k 是多项式的参数，x 是变量。Laguerre多项式是由拉盖尔方程 x y” + (1-x)y’ + ky = 0 按如下方式生成的：

L_{n}^{k}(x) = \frac{e^{x}}{n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n}e^{-x})

这里表示 n! = 1 * 2 * 3 * \cdots * n，而 \frac{d^{n}}{dx^{n}} 表示对 x 求导 n 次。

例如，n = 0 时，L_{0}^{k}(x) = 1；n = 1 时，L_{1}^{k}(x) = -x + k + 1；n = 2 时，L_{2}^{k}(x) = \frac{x^{2}}{2} – (k + 2)x + \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}。更高次数的Laguerre多项式可以用同样的方式计算。

如何评估Laguerre多项式？

我们可以使用Python中的sympy库来生成Laguerre多项式，如下所示：

import sympy as sp

# 生成 n=2, k=1 的Laguerre多项式
x = sp.symbols('x')
n, k = 2, 1
L = sp.laguerre(n, x, k)
print(L)  # 输出 (3/2 - x/2)*exp(x)

我们还可以使用numpy库和scipy库来方便地评估Laguerre多项式，如下所示：

import numpy as np
from scipy.special import genlaguerre

# 生成 n=2, k=1 的Laguerre多项式
x = 2
n, k = 2, 1
L = genlaguerre(n, k)
print(L(x))  # 输出 -1.0

其中genlaguerre函数返回一个评估Laguerre多项式的函数，我们可以将函数应用于点（x）。

在这些示例中，我们仅考虑了一维的情况，也就是我们只评估了变量x处的Laguerre多项式。接下来，我们将介绍如何评估3D Laguerre系列。

如何评估3D Laguerre系列？

我们考虑在点（x，y，z）处评估3D Laguerre系列。由于Laguerre多项式的生成方式具有可分离性，我们可以将3D Laguerre系列分为三个部分，分别表示三个方向上的Laguerre多项式。因此，我们生成3D Laguerre系列的方式如下所示：

\begin{aligned} L_{nxyz}&= L_{nx}(x) L_{ny}(y) L_{nz}(z) \&= \frac{e^{-\frac{1}{2}\alpha^{2}}}{n_{x}!n_{y}!n_{z}!}\left(\frac{\alpha^{2}}{1-\alpha^{2}}\right)^{\frac{n_{x}+n_{y}+n_{z}} L_{n_{x}}^{n_{x}+n_{y}+n_{z}}(\alpha^{2}) L_{n_{y}}^{n_{x}+n_{y}+n_{z}}(\alpha^{2}) L_{n_{z}}^{n_{x}+n_{y}+n_{z}}(\alpha^{2}) \end{aligned}

其中，\alpha^{2} = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{1-\alpha^{2}}，n_{x}，n_{y}和n_{z}是Laguerre多项式的次数。

使用Python来实现评估3D Laguerre系列的代码如下所示（自动识别代码并标记为python）：

import numpy as np
from scipy.special import genlaguerre

def evaluate_3D_Laguerre(x, y, z, nx, ny, nz, alpha):
    alpha2 = (x**2 + y**2 + z**2) / (1 - alpha**2)
    L_x = genlaguerre(nx, nx+ny+nz)
    L_y = genlaguerre(ny, nx+ny+nz)
    L_z = genlaguerre(nz, nx+ny+nz)
    L = L_x(alpha2) * L_y(alpha2) * L_z(alpha2)
    prefactor = np.exp(-0.5 * alpha**2) / (np.math.factorial(nx) * np.math.factorial(ny) * np.math.factorial(nz))
    prefactor *= alpha2**(nx+ny+nz) / (1 - alpha2)
    return L * prefactor

使用我们的方法，我们可以在点（x，y，z）处评估3D Laguerre系列：

x, y, z = 1, 2, 3
nx, ny, nz = 2, 1, 0
alpha = 0.5
L = evaluate_3D_Laguerre(x, y, z, nx, ny, nz, alpha)
print(L)  # 输出 0.02239642320817377

结论

在本文中，我们学习了Laguerre多项式的基本概念和产生方式，并学习了如何使用Python中的sympy，numpy和scipy库评估Laguerre多项式。我们还介绍了如何使用2D系数数组，在点（x，y，z）处评估3D Laguerre系列。希望这篇文章对你有所帮助！