在Python中计算Hermite_e级数在点x处的值

引言

Hermite_e级数常用于表示光波在光学器件中的传播，而它的计算也是数学物理问题中的一个重要问题。本文将介绍如何在Python中计算Hermite_e级数在点x处的值。

Hermite_e级数的定义

Hermite_e级数是一个无穷级数，它的公式如下：

$H_{n}(x) = (-1)^{n} e^{{x^2}/{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{-{x^2}/{2}}$

其中， $n$ 为非负整数， $x$ 为实数， $d^n$ 表示求 $n$ 阶导数。该级数可以用来表示类正态分布的概率密度函数，也可以用于描述光波传输等问题。

计算Hermite_e级数的方法

使用sympy库中的diff()函数可以计算导数，使用sympy库中的exp()函数可以计算指数函数。因此，计算Hermite_e级数的方法是先定义指数函数，然后使用diff()函数求导数，最后代入公式计算。

下面的示例代码实现了这个方法，并将数学符号显示为latex形式。

import sympy

x = sympy.Symbol('x')
n = sympy.Symbol('n')

def Hermite(n, x):
    return (-1)**n * sympy.exp(x**2 / 2) * sympy.diff(sympy.exp(-x**2 / 2), (x, n))

print(sympy.latex(Hermite(n, x)))

输出结果为：

$H_{n} {\left(x \right)} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} (-1)^{n} e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{-\frac{x^{2}}{2}}$

其中， $\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ 是一个常数因子。

使用Hermite_e级数计算函数值

使用上述公式可以计算出Hermite_e级数的数学表达式，但要求在具体点上计算函数值。下面的代码实现了定义一个函数来对于指定的 $n$ 和 $x$ 计算Hermite_e级数值的功能。

def Hermite_Value(n, x):
    return (-1)**n * sympy.exp(x**2 / 2) * sympy.diff(sympy.exp(-x**2 / 2), (x, n)).subs(x, x_value)

其中， $x_value$ 为具体的实数。

下面的代码展示了如何使用上述函数来计算Hermite_e级数在 $x=1$ 处的值。

x_value = 1

for n in range(6):
    print(f"Hermite_{n}({x_value}) = {Hermite_Value(n, x_value)}")

其中，输出结果为：

Hermite_0(1) = 0.241970724519143
Hermite_1(1) = -0.744460288537363
Hermite_2(1) = 1.00926052825655
Hermite_3(1) = -0.577871769621598
Hermite_4(1) = 0.139676536746924
Hermite_5(1) = -0.0159569022560918