极客笔记在 Python 中使用二维系数数组，评估笛卡尔积 x、y 和 z 上的三维 Hermite 级数
在科学计算、应用物理、物理化学和工程中，很多时候需要对高维数据进行处理和分析。而在处理进化问题、薛定谔方程以及其他许多方程时，常见的算子是 Hermite 算子。在这种情况下，需要用到 Hermite 多项式、Hermite 基、Hermite 级数等对象来分析问题。
Hermite 多项式和 Hermite 级数简介
在某个范围内对应位置上的 Hermite 多项式是一组基函数，定义如下：
{\displaystyle {H}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{d{x^{n}}}}(e^{-x^{2}})} {\displaystyle {\displaystyle {H}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{d{x^{n}}}}(e^{-x^{2}})}}
在某个范围内的 x 值定义了 Hermite 多项式的或计算出来的一组系数向量。同样，三维空间中的 Hermite 基或 Hermite 级数也是由一组系数向量构成的。
笛卡尔积 x、y 和 z 的三维 Hermite 级数
在三维空间内，三维 Hermite 级数使用笛卡尔积 x、y 和 z 来构造。对于 Hermite 级数，首先需要获得一组系数向量，然后需要计算这些向量的笛卡尔积。在 Python 中实现这一计算非常容易。以下是一个使用 numpy 库实现的基于笛卡尔积 x、y 和 z 的三维 Hermite 级数的例子：
import numpy as np
from scipy.special import hermitenorm
x = np.linspace(-6, 6, 100)
y = np.linspace(-6, 6, 100)
z = np.linspace(-6, 6, 100)
nmax = 5
nx, ny, nz = np.meshgrid(np.arange(nmax), np.arange(nmax), np.arange(nmax))
herm = hermitenorm(nx)(np.sqrt(nx) * x[:, None, None]) * \
hermitenorm(ny)(np.sqrt(ny) * y[None, :, None]) * \
hermitenorm(nz)(np.sqrt(nz) * z[None, None, :])
herm_sum = np.sum(herm, axis=(0, 1, 2))
在这个例子中，我们导入了 numpy 和 scipy 库。其中的 hermitenorm 函数返回归一化 Hermite 多项式的值。我们先生成 x、y 和 z 的笛卡尔积，然后对笛卡尔积 x、y 和 z 中每个坐标点的三维 Hermite 基进行求和，得到笛卡尔积 x、y 和 z 的三维 Hermite 级数。
改进
上面的算法是一种简单而快速的实现三维 Hermite 级数的方法。但是，这种算法容易出现四舍五入误差，并且生成笛卡尔积涉及到大量的计算，因此消耗内存和时间。我们需要改进上述算法，同时处理之前提到的问题。
在实现中，可以使用代数公式来计算 Hermite 级数的求和部分。其次，为了减少计算量和内存消耗，我们可以使用不保存笛卡尔积的方式来生成三维 Hermite 级数。我们首先将 x、y 和 z 的坐标点分别重新排列组合，然后对每个坐标点生成 Hermite 级数，最后将它们加和。
以下是一个改进的实现例子：
import numpy as np
from scipy.special import hermitenorm
from itertools import product
def hermite_3d(x,y,z,coeff):
herm_sum = 0
for i,j,k in product(range(coeff.shape[0]),range(coeff.shape[1]),range(coeff.shape[2])):
herm_sum += coeff[i,j,k]*hermitenorm(i)(np.sqrt(i)*x)*hermitenorm(j)(np.sqrt(j)*y)*hermitenorm(k)(np.sqrt(k)*z)
return herm_sum
x = np.linspace(-6,6,100)
y = np.linspace(-6,6,100)
z = np.linspace(-6,6,100)
nmax = 5
coeff = np.zeros((nmax, nmax, nmax))
nx, ny, nz = np.meshgrid(range(nmax), range(nmax), range(nmax))
coeff = np.exp(-(nx**2 + ny**2 + nz**2)/2.0)/np.sqrt(np.prod(np.array([(2**i)*np.math.factorial(i) for i in [nx, ny, nz]])))
herm_sum = hermite_3d(x[:,None,None],y[None,:,None],z[None,None,:],coeff)
在这个例子中，我们定义了一个函数 hermite_3d 来计算笛卡尔积 x、y 和 z 上的三维 Hermite 级数。在函数内，我们使用 itertools 库的 product 函数对 x、y 和 z 中每个坐标点进行组合，生成一组新的笛卡尔积坐标点，然后对每个坐标点计算 Hermite 级数，对它们进行累加得到结果。另外，我们使用了代数公式来计算 Hermite 基的系数。
结论
在本文中，我们介绍了在 Python 中使用二维系数数组评估笛卡尔积 x、y 和 z 上的三维 Hermite 级数。我们首先介绍了 Hermite 多项式和 Hermite 级数的基本定义和性质，然后分别使用 NumPy scipy 库中的函数实现简单的和改进的算法。这两种算法都可以用来计算笛卡尔积 x、y 和 z 上的三维 Hermite 级数，但是改进算法优化了计算速度和内存消耗，更适合处理大型数据集。