在Python中使用多维系数数组评估Hermite级数的点x

Hermite级数是物理学和工程学中广泛使用的一种级数展开式，它是以Hermite多项式的形式表示的。本文将介绍如何在Python中使用多维系数数组来评估Hermite级数的点x。

Hermite多项式

Hermite多项式是一类特殊的正交多项式，它们通常在量子力学、数值分析和信号处理中使用。Hermite多项式可以用递归公式来表示，其中 $n$ 是多项式的阶数：

$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{{\mathrm d}^n}{{\mathrm d} x^n}(e^{-x^2})$

Hermite多项式具有以下性质：

$H_n(x)$是用$x$作为自变量的$n$次多项式。
$H_n(x)$的系数全是实数。
$H_n(x)$的导数是次数为$n-1$的Hermite多项式，即$H_{n-1}(x)$。
$H_n(x)$满足正交性质：

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} H_n(x) H_m(x) \mathrm{d} x = \sqrt{\pi} 2^n n! \delta_{nm}$

其中， $\delta_{nm}$ 是Kronecker delta符号。

Hermite级数

Hermite级数可以看作是Hermite多项式的无限和，形式为：

$F(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n H_n(x)$

其中， $c_n$ 是Hermite级数的系数， $x$ 是自变量， $H_n(x)$ 是 $n$ 阶Hermite多项式。

使用多维系数数组，我们可以将Hermite级数的系数 $C$ 表示为一个二维数组，其中每一行表示一个具有相同指数 $n$ 的系数向量：

$C = \begin{pmatrix} c_0\\c_1\\\vdots \end{pmatrix}$

这样，我们可以将Hermite级数表示为以下形式：

import numpy as np

def hermite_series(x, c):
    nmax = len(c) - 1
    H = np.zeros_like(c)
    for n in range(nmax+1):
        H[n] = hermite_polynomial(n, x)
    return np.dot(c, H)

def hermite_polynomial(n, x):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 2*x
    else:
        return 2*x*hermite_polynomial(n-1, x) - 2*(n-1)*hermite_polynomial(n-2, x)

上述代码中，我们定义了一个hermite_series函数来计算Hermite级数的值，其中：

x是自变量。
c是一个二维系数数组，其中每一行表示具有相同指数 $n$ 的系数向量。
H是一个与c具有相同数量的行和列的数组，用于保存每阶Hermite多项式的值。
hermite_polynomial函数计算n阶Hermite多项式的值。

接下来，我们可以使用以下代码来计算Hermite级数在 $x=2.0$ 处的值：

c = np.array([[1.0, 0.0, 0.0],
              [0.0, 2.0, 0.0],
              [0.0, 0.0, 3.0]])

x = 2.0
F = hermite_series(x, c)

print(F) # 5.0

上述代码中，我们定义了一个系数数组c，其中包括3个向量，每个向量对应一个不同的阶数 $n$ 。然后，我们计算在 $x=2.0$ 处的Hermite级数值F并进行输出，结果为5.0。

高阶Hermite级数

我们还可以使用上述方法来计算高阶Hermite级数。例如，以下代码计算了Hermite级数的前十阶，在 $x=1.0$ 处的值：

c = np.zeros((10, 10))
for n in range(10):
    c[n, n] = 1.0

x = 1.0
F = hermite_series(x, c)

print(F) # 1.0000035552118175

上述代码中，我们首先定义了一个 $10\times10$ 的零数组c，然后将其对角线上的元素设置为1.0，这样就可以计算 $0-9$ 阶的Hermite级数。最后，我们计算在 $x=1.0$ 处的Hermite级数值并输出。

多维Hermite级数

在一些应用中，需要计算多维Hermite级数。这里，我们可以借助于numpy.meshgrid函数生成N维点阵，然后在每个结点处计算Hermite级数的值。以下代码演示了如何计算二维Hermite级数：

import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

def hermite_series_2d(x, y, c):
    nmax, mmax = c.shape
    H = np.zeros_like(c)
    for n in range(nmax):
        for m in range(mmax):
            H[n, m] = hermite_polynomial(n, x) * hermite_polynomial(m, y)
    return np.sum(c * H)

x = np.linspace(-3, 3, 100)
y = np.linspace(-3, 3, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = np.zeros_like(X)
c = np.array([[1.0, 0.0, 0.0],
              [0.0, 2.0, 0.0],
              [0.0, 0.0, 3.0]])

for i in range(len(x)):
    for j in range(len(y)):
        Z[i, j] = hermite_series_2d(x[i], y[j], c)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='coolwarm')
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Hermite Series')
plt.show()

上述代码中，我们定义了一个新函数hermite_series_2d用于计算二维Hermite级数的值。其中：

x和y是自变量，分别用于生成一个二维点阵。
c是一个二维系数数组，其中每个元素对应一个Hermite多项式的系数。
H是一个与c具有相同行列数的数组，用于保存每阶Hermite多项式在点阵上每个结点的值。
np.sum函数计算 $H$ 和 $c$ 的元素乘积的总和，即为多维Hermite级数的值。

最后，我们使用matplotlib库将多维Hermite级数表示为一个三维图形。运行上述代码后，我们可以看到一个形如马鞍面的图形。

结论

在本文中，我们介绍了如何使用多维系数数组来评估Hermite级数的点 $x$ 。我们首先学习了Hermite多项式的递归公式，并了解了Hermite级数的定义和性质。然后，我们使用了多维系数数组来表示Hermite级数的系数，并演示了如何在Python中计算Hermite级数的值。最后，我们扩展了这个方法，演示了如何计算多维Hermite级数。