用 Python 在列系数上广播计算 Hermite 级数中点 x 的值

Hermite级数介绍

Hermite级数是泰勒级数的一种推广形式，它由赫米特（Hermite）提出，可用于描述量子力学中谐振子的波函数。Hermite级数是一种有限和级数，它在数学、物理等领域都有广泛的应用。

$H_n(x) = (-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$

其中 $n$ 为常数， $x$ 为自变量。

求解Hermite级数中点 x 的值

考虑到Hermite级数是一种有限和级数，可以通过计算列系数来求解中点 $x$ 的值。列系数是在给定 $x$ 值时，计算各项系数的中间值。

代码如下：

import numpy as np

def hermite(n, x):
    coeff = np.zeros(n + 1)
    coeff[0] = 1
    coeff[1] = 2 * x

    for i in range(2, n + 1):
        coeff[i] = 2 * x * coeff[i - 1] - 2 * (i - 1) * coeff[i - 2]

    return coeff[-1]

n = 5
x = 2

print(hermite(n, x))

代码输出结果为：

广播计算

当需要计算多组数据时，我们可以用广播计算实现高效的向量化计算。

代码如下：

n = 5
x_vals = np.array([0, 1, 2, 3, 4])
coeffs = np.zeros((len(x_vals), n + 1))

coeffs[:, 0] = 1
coeffs[:, 1] = 2 * x_vals

for i in range(2, n + 1):
    coeffs[:, i] = 2 * x_vals * coeffs[:, i - 1] - 2 * (i - 1) * coeffs[:, i - 2]

print(coeffs[:, -1])

代码输出结果为：