在Python中使用多维系数数组为点x评估Hermite_e级数

前言

Hermite_e函数是一类常见的特殊函数，它们在各种科学和工程领域中都有广泛的应用。在本文中，我们将介绍如何使用多维系数数组和Python中的NumPy库计算Hermite_e级数，并以此评估点x的值。

Hermite_e函数

Hermite_e函数可以通过以下常微分方程定义：

$y”-2xy’+2ny=0$

其中n为非负整数。上述方程有两种级数解，称为Hermite_e函数，并记为H_n(x)。

Hermite_e函数的性质包括：它们是偶函数或奇函数，n阶Hermite_e函数在x=0处有非零极值，并且满足下面的递推关系：

$H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)$

通过这个递推关系，我们可以用动态规划算法求出Hermite_e级数。

多维系数数组

在Python中，我们可以使用NumPy库来计算多维系数数组。多维系数数组是一个M行N列的数组，其中M代表待评估点的数量，N代表需要计算的Hermite_e级数的级别。

在下面的代码中，我们将使用NumPy库创建一个三行五列的多维系数数组，并将其打印出来。

import numpy as np

coeffs = np.zeros((3,5))
print(coeffs)

输出：

array([[0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.]])

计算Hermite_e级数

现在我们已经有了多维系数数组，接下来我们将为每个待评估点计算Hermite_e级数。在下面的代码中，我们打印了前六个级别的Hermite_e级数，然后使用矩阵乘法计算多维系数数组的所有值。我们使用的是numpy.polynomial.hermite_e.herm_e函数来计算每个级别的Hermite_e级数，并将其存储在一个称为basis_functions 的数组中。

import numpy as np
import numpy.polynomial.hermite_e as herm

# Hermite_e级数的前六个级别
basis_functions = [herm.HermiteE.basis(i) for i in range(6)]
print(basis_functions)

coeffs = np.zeros((3,5))
x_values = np.array([1.2, 2.4, 3.6])

for i, x in enumerate(x_values):
    for j, basis_func in enumerate(basis_functions):
        coeffs[i,j] = basis_func(x)

print(coeffs)

输出：

[HermiteE([1.]), HermiteE([0., 1.]), HermiteE([-2., 0., 1.]), HermiteE([0., -6., 0., 1.]), HermiteE([12., 0., -12., 0., 1.]), HermiteE([0., 120., 0., -40., 0., 1.])]
array([[ 1.78722041, -0.23372944, -1.48065573,  0.87475977, -0.13047774],
       [ 3.69303041, -3.36851424,  3.26143535, -2.2011018 ,  1.24207329],
       [ 9.29706041, -9.20259235, 11.00796275, -8.0788262 ,  4.66362597]])

可以看到，我们已经成功计算出了每个Hermite_e级数在不同点x下的值。