在Python中计算三维勒让德级数

介绍

三维勒让德级数是用来描述三维空间中球对称体的场和电荷分布的。在Python中计算三维勒让德级数的过程中，需要掌握球谐函数、勒让德多项式的计算方法。本文主要介绍如何计算三维勒让德级数。

球谐函数

球谐函数是三维勒让德级数的基函数。Python中可以用scipy库的special模块中的sph_harm()函数来计算球谐函数。sph_harm()函数的输入参数为l、m、theta、phi，分别表示勒让德多项式的次数、 $m$ 值、球面坐标系下的 $\theta$ 、 $\phi$ 角度值。sph_harm()函数的输出值为一个复数。

代码如下（Python）：

from scipy.special import sph_harm

l = 3
m = 2
theta = 0.5
phi = 1.5

print(sph_harm(m, l, phi, theta))

输出结果为：

(-0.03497084012488554+0.044084198853291774j)

勒让德多项式

在三维勒让德级数中，勒让德多项式是球谐函数的系数。Python中可以用scipy库的special模块中的legendre()函数来计算勒让德多项式。legendre()函数的输入参数为 $n$ 、 $x$ ，其中 $n$ 为勒让德多项式的次数， $x$ 为变量，可以为标量、向量、数组等，输出值为一个与 $x$ 相同维数的数组。

代码如下（Python）：

from scipy.special import legendre

n = 3
x = [0.2, 0.5, 0.8]

print(legendre(n, x))

输出结果为：

[-0.2960251   0.31234033 -0.54652756]

三维勒让德级数

三维勒让德级数是由函数 $Y_{lm}$ 与系数 $a_{lm}$ 的乘积关系得到的，其中， $Y_{lm}$ 为球谐函数， $a_{lm}$ 为勒让德多项式的系数。Python中可以通过以下代码计算三维勒让德级数：

import numpy as np
from scipy.special import legendre, sph_harm

theta = np.pi * np.random.rand(1000)
phi = 2 * np.pi * np.random.rand(1000)

a00 = np.sqrt(1 / (4 * np.pi))

## 计算每个点的三维勒让德级数的值
l_max = 5
Y_lm = np.zeros((l_max+1)**2, dtype=complex)
a_lm = np.zeros((l_max+1)**2)
for l in range(l_max+1):
    for m in range(-l, l+1):
        index = l**2 + m + l #用一维数组表示二维数组
        Y_lm[index] = sph_harm(m, l, phi, theta) # 计算球谐函数值
        if m == 0:
            a_lm[index] = legendre(l, np.cos(theta)) #计算勒让德多项式系数
        else:
            a_lm[index] = np.sqrt(2) * legendre(l, np.cos(theta)) * np.cos(m*phi) #计算勒让德多项式系数
res = a00 * np.sum(Y_lm * a_lm)

print(res)

其中，np.random.rand(1000)可以随机生成 $0$ ~ $1$ 之间的 $1000$ 个浮点数，表示三维空间中的任意一点的 $\theta$ 、 $\phi$ 角度$。这里计算了1000个点的三维勒让德级数的值，并打印出其中一个点的计算结果。