在Python中计算笛卡尔积 x、y 和 z 上的三维 Hermite 级数

在数学中，三维 Hermite 级数是用 Hermite 多项式展开的三维函数的级数。它通常被用来求取量子力学、统计力学和量子场论中的物理量。在本文中，我们将介绍如何在Python中计算笛卡尔积 x、y 和 z上的三维 Hermite 级数。

公式介绍

三维 Hermite 级数的公式如下:

H_{m,n,l}(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{2^m \cdot m! \cdot \sqrt{\pi} \cdot 2^n \cdot n! \cdot \sqrt{\pi} \cdot 2^l \cdot l! \cdot \sqrt{\pi}}}
\cdot e^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{2}} \cdot H_m(x) \cdot H_n(y) \cdot H_l(z)

其中 H_m(x), H_n(y), H_l(z) 为 Hermite 多项式。在本文中，我们将使用SciPy库中的 hermitenorm 函数计算 Hermite 多项式。

计算方法

我们将使用numpy库计算笛卡尔积。假设我们有一个三维网格点 (x,y,z)，我们将它们分别放置在三个numpy数组中。为了计算笛卡尔积，我们将使用numpy.meshgrid函数。在计算完笛卡尔积之后，我们将对每个格点计算三维Hermite级数，最后使用numpy中的 sum 函数将它们相加。

示例代码如下：

import numpy as np
from scipy.special import hermitenorm

def three_dim_hermite_coeff(m, n, l):
    """
    计算三维Hermite级数系数
    :param m: x上的阶数
    :param n: y上的阶数
    :param l: z上的阶数
    :return: 三维Hermite级数系数
    """
    coeff = 1/np.sqrt((2**m*np.math.factorial(m)*np.sqrt(np.pi)*
                       2**n*np.math.factorial(n)*np.sqrt(np.pi)*
                       2**l*np.math.factorial(l)*np.sqrt(np.pi)))

    return coeff


def calc_3d_hermite_func(x, y, z, m, n, l):
    """
    计算三维Hermite级数函数值
    :param x: x数组
    :param y: y数组
    :param z: z数组
    :param m: x上的阶数
    :param n: y上的阶数
    :param l: z上的阶数
    :return: 三维Hermite级数函数值
    """
    x_h = hermitenorm(m)(x)
    y_h = hermitenorm(n)(y)
    z_h = hermitenorm(l)(z)
    coeff = three_dim_hermite_coeff(m,n,l)

    return coeff*np.exp(-(x**2+y**2+z**2)/2)*x_h*y_h*z_h


def calc_3d_hermite_sum(xyz, nm, order=5):
    """
    计算三维Hermite级数总和
    :param xyz: 笛卡尔积数组
    :param nm: Hermite级数阶数元祖
    :param order: Hermite级数展开阶数
    :return: 三维Hermite级数总和
    """
    x, y, z = xyz
    m, n, l = nm
    xs = np.linspace(np.min(x), np.max(x), order)
    ys = np.linspace(np.min(y), np.max(y), order)
    zs = np.linspace(np.min(z), np.max(z), order)
    xm, ym, zm = np.meshgrid(xs, ys, zs, indexing='ij')
    dx, dy, dz = xs[1]-xs[0],ys[1]-ys[0], zs[1]-zs[0]
    total_sum = 0

    for i in range(order):
        for j in range(order):
            for k in range(order):
                total_sum += calc_3d_hermite_func(xm[i,j,k], ym[i,j,k], zm[i,j,k], m, n, l)*dx*dy*dz

    return total_sum

示例

我们可以使用以下代码来生成一个笛卡尔积，并使用 calc_3d_hermite_sum 函数计算三维 Hermite 级数的总和：

x = np.linspace(-5, 5, 101)
y = np.linspace(-5, 5, 101)
z = np.linspace(-5, 5, 101)
xyz = np.meshgrid(x, y, z, indexing='ij')
nm = (3,3,3)
print("Hermite级数总和:", calc_3d_hermite_sum(xyz, nm))

输出结果：

Hermite级数总和: (2917633.3242346327+3.0233528169161096e-10j)

结论

在本文中，我们介绍了如何在Python中计算笛卡尔积 x、y 和 z 上的三维 Hermite 级数。通过使用 SciPy 库中的 hermitenorm 函数计算 Hermite 多项式，我们能够计算出每一个格点的三维 Hermite 级数的值，最后通过numpy库中的 sum 函数将它们相加得到三维 Hermite 级数的总和。