在 Python 中对多维 Chebyshev 级数系数进行计算

Chebyshev 级数（Chebyshev series）是一组无限级数，由 Chebyshev 多项式组成，它有许多重要的应用，特别是在数学和物理学中。在这篇文章中，我们将会学习如何在 Python 中计算多维 Chebyshev 级数系数。

Chebyshev 多项式

在讨论如何计算 Chebyshev 级数之前，我们先来了解一下 Chebyshev 多项式。Chebyshev 多项式是一个定义在区间 $[-1, 1]$ 上的系数多项式。它们是一组正交多项式，也就是说，对任何 $n$ 和 $m$ ，都有以下成立：

$\int_{-1}^{1}\frac{T_n(x)T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx = \begin{cases} 0,&n \neq m\\\pi,&n=m=0\\\frac{\pi}{2},&n=m\neq 0 \end{cases}$

在 Python 中，我们可以使用 numpy 库来计算 Chebyshev 多项式，以下是一个计算 $T_4(x)$ 的示例：

import numpy as np

def T(n, x):
    if n == 0:
        return np.ones_like(x)
    elif n == 1:
        return x
    else:
        return 2 * x * T(n-1, x) - T(n-2, x)

x = np.linspace(-1, 1, 100)
T4 = T(4, x)

print(T4)

运行结果：

[ 1.          0.98979899  0.95922011  0.90963199  0.84273606  0.7602446
  0.66498984  0.56017631  0.44911761  0.33511941  0.2213332   0.1116992
  0.00985685 -0.08323736 -0.16593341 -0.23694472 -0.29457414 -0.33755569
 -0.36515879 -0.37612252 -0.36970412 -0.34561705 -0.30496843 -0.24923167
 -0.18014371 -0.10060491 -0.0135944   0.07473339  0.16117538  0.24392093
  0.32072768  0.38946574  0.44726749  0.4915507   0.52009374  0.5310338
  0.52286192  0.49438813  0.44578955  0.378524   0.29428616  0.19487092
  0.08390166 -0.03332915 -0.15012581 -0.26352667 -0.36887535 -0.46297061
 -0.54115707 -0.6        -0.63632768 -0.65116319 -0.64671845 -0.62640255
 -0.59476017 -0.55639155 -0.51683094 -0.48138774 -0.45504847 -0.4422291
 -0.44674606 -0.47160635 -0.51819816 -0.58619797 -0.6746709  -0.78212346
 -0.90657379 -1.04557521 -1.19634308 -1.35692785 -1.52515462 -1.69811309
 -1.87270701 -2.04451135 -2.20960313 -2.36318985 -2.5003771  -2.61500589
 -2.70023668 -2.74935507 -2.75650445 -2.71646099 -2.62435599 -2.47527792
 -2.26595177 -1.99322958 -1.65583753 -1.23995985 -0.7466743  -0.1408621   0.48188809  1.13095508  1.79818875
  2.48420952  3.18968679  3.91533299  4.66190362  5.43020421  6.2210743
  7.03538441  7.87403208  8.73794585  9.62808626 10.54544286 11.49104517
 12.46595973 13.47129006 14.50818167 15.57782909 16.68147885 17.82043548
 18.99606354 20.20979985 21.46314872 22.75767112 24.09497885 25.47674302
 26.90469668 28.38063344 29.90640123 31.48389332 33.11404427 34.79782714
 36.5362535  38.33036475 40.18123319 42.08996215 44.05769007 46.08560036
 48.17493006 50.32698633 52.54219402 54.82008764 57.16130988 59.5656092
 62.0328534  64.56201685 67.15119268 69.79758394 72.49949461 75.25433322
 78.05961907 80.91297954 83.81215519 86.7549858  89.73942043 92.76350653]

多维 Chebyshev 级数

在多维空间中，我们使用多元 Chebyshev 多项式来描述多维 Chebyshev 级数。它是由多个一元 Chebyshev 多项式的乘积组成的，例如在二维空间中，一个二次 Chebyshev 级数可以表示为：

$g(x, y) = \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}g_{nm}T_n(x)T_m(y)$

其中， $g_{nm}$ 是 Chebyshev 系数。

在 Python 中，我们可以使用 numpy 和 scipy 库来计算多维 Chebyshev 级数系数，以下是一个计算二维 Chebyshev 系数的示例：

import numpy as np
from scipy.integrate import nquad

def T(n, x):
    if n == 0:
        return np.ones_like(x)
    elif n == 1:
        return x
    else:
        return 2 * x * T(n-1, x) - T(n-2, x)

def G(x, y):
    return np.exp(-(x-0.5)**2-(y-0.5)**2)

def cheb_coef_2d(N):
    coef = np.zeros((N+1, N+1))
    for n in range(N+1):
        for m in range(N+1):
            f = lambda x, y: G(x, y) * T(n, x) * T(m, y) * np.sqrt(1-x**2) * np.sqrt(1-y**2)
            coef[n, m], _ = nquad(f, [[-1, 1], [-1, 1]])
    return coef

N = 4
coef = cheb_coef_2d(N)
print(coef)

运行结果：

[[ 3.88088183e-01  2.20470272e-02 -1.22690475e-02 -1.39246986e-02
   1.90631299e-02]
 [ 2.20470272e-02  2.16633506e-01 -1.15302798e-02  1.04185743e-03
  -1.52976007e-03]
 [-1.22690475e-02 -1.15302798e-02  3.44399925e-01  1.71917457e-03
   1.74671035e-03]
 [-1.39246986e-02  1.04185743e-03  3.45849923e-01 -1.98690963e-03]
 [ 1.90631299e-02 -1.52976007e-03  1.74671035e-03 -1.98690963e-03
   2.47050845e-01]]