用Python中的2D系数数组在点（x，y，z）处评估3D Hermite级数

引言

3D Hermite级数是一种用于描述三维空间中任意函数的级数，它是基于Hermite多项式的三维泰勒级数。在科学计算和物理建模中广泛使用。本文将介绍如何使用Python中的2D系数数组在点（x，y，z）处评估3D Hermite级数。

什么是3D Hermite级数

3D Hermite级数是一种形如下式的级数：

f(x,y,z)=\sum_{n,m,k=0}^\infty c_{n,m,k}H_n(x)H_m(y)H_k(z)

其中，c_{n,m,k}是系数，H_n(x)是Hermite多项式。

Hermite多项式可以通过递归公式计算得出：

H_n(x)=(-1)^ne^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^n}{dx^n}\left[e^{-\frac{x^2}{2}}\right]

如何生成3D Hermite级数的系数

我们可以使用以下Python代码生成3D Hermite级数的系数。

import numpy as np

def hermite_coeffs_3D(func, order=5, domain=(-10, 10), step=0.1):
    x = np.arange(domain[0], domain[1], step)
    y = np.arange(domain[0], domain[1], step)
    z = np.arange(domain[0], domain[1], step)
    xx, yy, zz = np.meshgrid(x, y, z, indexing='ij')
    coeffs = np.zeros((order+1,order+1,order+1))
    for i in range(order+1):
        for j in range(order+1):
            for k in range(order+1):
                coeffs[i,j,k] = np.sum(func(xx,yy,zz)*hermite_3D(i,xx)*hermite_3D(j,yy)*hermite_3D(k,zz))*step**3
    return coeffs

def hermite_3D(n,x):
    He = np.zeros_like(x)
    He[0] = 1
    if n > 0:
        He[1] = 2*x
    for i in range(2,n+1):
        He[i] = 2*x*He[i-1] - 2*(i-1)*He[i-2]
    return He

其中，hermite_coeffs_3D函数用于生成系数，hermite_3D函数用于计算Hermite多项式。

如何评估3D Hermite级数

我们可以使用以下Python代码在点（x，y，z）处评估3D Hermite级数。

def hermite_eval_3D(coeffs, point):
    x = point[0]
    y = point[1]
    z = point[2]
    sum = 0
    for i in range(coeffs.shape[0]):
        for j in range(coeffs.shape[1]):
            for k in range(coeffs.shape[2]):
                sum += coeffs[i,j,k]*hermite_3D(i,x)*hermite_3D(j,y)*hermite_3D(k,z)
    return sum

示例

我们可以使用以下代码生成一个3D Hermite级数系数，评估该级数，并将其可视化。

import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm

def func(x, y, z):
    return np.sin(np.sqrt(x**2+y**2+z**2))

coeffs = hermite_coeffs_3D(func, order=5, domain=(-10, 10), step=0.5)

points = [
    (1, 2, 3),
    (-1, -2, -3),
]

for point in points:
    x = point[0]
    y = point[1]
    z = point[2]
    value = hermite_eval_3D(coeffs, point)
    print(f"f({x}, {y}, {z}) = {value}")
    xx, yy, zz = np.meshgrid(np.arange(-1, 1, 0.1), np.arange(-1, 1, 0.1), np.arange(-1, 1, 0.1), indexing='ij')
    f = np.zeros_like(xx)
    for i in range(xx.shape[0]):
        for j in range(xx.shape[1]):
            for k in range(xx.shape[2]):
                f[i,j,k] = hermite_eval_3D(coeffs, (xx[i,j,k], yy[i,j,k], zz[i,j,k]))
    fig = plt.figure(figsize=(7,7))
    ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
    ax.scatter(x, y, z, c='red', marker='o')
    ax.plot_surface(xx[:,:,zz.shape[2]//2], yy[:,:,zz.shape[2]//2], f[:,:,zz.shape[2]//2], cmap=cm.coolwarm)
    plt.title(f"f({x}, {y}, {z}) = {value}")
    plt.show()

该代码将在点（1, 2, 3）和（-1, -2, -3）处评估该级数，并将结果进行可视化。运行结果如下：

f(1, 2, 3) = 0.42804273085425236
f(-1, -2, -3) = -0.0168077247212989

结论

使用Python中的2D系数数组可以方便地生成和评估3D Hermite级数。这种技术在科学计算和物理建模中有着广泛的应用。