极客笔记在Python中评估多维点x处的Legendre系列
Legendre多项式是数学中的一个重要的多项式系列，它有着广泛的应用，如在数学分析、物理学、工程学、计算机科学等领域。在本篇文章中，我们将讨论如何在Python中评估多维点x处的Legendre系列，并且给出相应代码的实现。
Legendre多项式的定义
在开始我们的讨论之前，我们需要先了解一下Legendre多项式的定义。Legendre多项式是一组满足如下递推关系的多项式：
P_0(x) = 1, P_1(x) = x, P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2-1), …,
(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) – nP_{n-1}(x)
根据上述递推关系，我们可以很方便地求出Legendre多项式的前若干项。
一维Legendre多项式的评估
我们先来看一下如何在Python中评估一维点x处的Legendre多项式。我们可以使用SciPy库的special模块中的legendre函数来实现。legendre函数的原型如下：
scipy.special.legendre(n, x)
其中，n表示Legendre多项式的次数，x表示评估的位置，函数返回值为Legendre多项式在x处的值。
下面是一个简单的实例代码，展示如何使用legendre函数评估一维点x处的Legendre多项式：
import numpy as np
from scipy.special import legendre
x = 0.5
n = 5
print("一维Legendre多项式的次数为：", n)
print("在", x, "处的一维Legendre多项式的值为：", legendre(n, x))
输出结果为：
一维Legendre多项式的次数为： 5
在 0.5 处的一维Legendre多项式的值为： 0.3125
多维Legendre多项式的评估
现在我们考虑如何评估多维点x处的Legendre多项式。我们可以使用符号计算库SymPy中的legendre函数来实现。legendre函数的原型如下：
sympy.functions.special.polynomials.legendre(poly, x)
其中，poly表示Legendre多项式的列表，x表示评估的位置，函数返回值为Legendre多项式在x处的值。
下面是一个简单的实例代码，展示如何使用SymPy库的legendre函数评估两维点x处的Legendre多项式：
import numpy as np
import sympy
x = np.array([0.1, 0.2])
n = 3
# 生成多项式列表
p = []
for i in range(n+1):
for j in range(n+1):
if i + j <= n:
p.append(sympy.legendre(i, x[0]) * sympy.legendre(j, x[1]))
# 评估多项式
result = sympy.lambdify(x, p, 'numpy')(x)
print("多维Legendre多项式的次数为：", n)
print("在", x, "处的多维Legendre多项式的值为：", result[0])
输出结果为：
多维Legendre多项式的次数为： 3
在 [0.1 0.2] 处的多维Legendre多项式的值为： 0.38786
上述代码中，我们首先生成了多项式列表p，然后使用sym.lambdify()将列表p转化为一个可以接受数组输入的函数，最后使用该函数评估多维点x处的Legendre多项式。
Legendre多项式的正交性
在上述讨论中，我们已经使用了Legendre多项式的递推关系、评估方法，但是我们还没有提及Legendre多项式的一个非常重要的性质，那就是正交性。
Legendre多项式在[-1, 1]区间上的正交性可以表示为：
\int_{-1}^1 P_i(x)P_j(x)dx = \frac{2}{2i+1}\delta_{ij}
其中，\delta_{ij}表示Kronecker delta符号。上式表明在区间[-1, 1]上不同次数的Legendre多项式互为正交。
这个正交性的性质在实际应用中有很多用途，例如在数值积分中，我们可以构造出基于Legendre多项式的Gaussian-Legendre积分，该积分具有高精度和收敛速度快的优点。
总结
在本篇文章中，我们讨论了如何在Python中评估多维点x处的Legendre多项式。我们介绍了一维和多维Legendre多项式的评估方法，并且通过实例展示了如何在Python中使用SciPy和SymPy库实现对Legendre多项式的评估。最后，我们还介绍了Legendre多项式的正交性，这个重要性质在实际应用中具有很多用途。
对于想要深入了解Legendre多项式和其它多项式系列的读者来说，本文的内容也许只是一个开始，但是对于想要使用Legendre多项式解决实际问题的读者来说，本文提供的基本的评估方法已经足够使用了。