在 Python 中对系数列的列上广播点 x 并求解拉盖尔级数

在数学中，拉盖尔级数是一种解决常微分方程和偏微分方程的方法。Python 是一种强大的编程语言，在科学计算、数据分析等领域都有广泛的应用。在本文中，我们将介绍如何使用 Python 对系数列进行广播，并求解拉盖尔级数。

什么是拉盖尔级数

拉盖尔级数是一种特殊的幂级数，用于解决常微分方程和偏微分方程。它的一般形式为：

$\sum_{n=0}^{\infty} c_n \dfrac{(x-a)^n}{n!}$

其中， $x$ 是自变量， $a$ 是常数， $c_n$ 是系数列。它的收敛半径为 $R$ ，满足下列条件：

$R=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}\right|$

当 $R=\infty$ 时，级数在整个实轴上均收敛。当 $R=0$ 时，级数只在 $x=a$ 处收敛。当 $0 时，级数在 a-R 内收敛。我们可以通过计算系数列中每个项的值，求解拉盖尔级数在给定点上的值。$

广播计算

在 Python 中，可以使用 numpy 库进行向量化计算。向量化计算能够将计算逐元素地应用于数组，从而避免使用循环。例如，我们可以将一个向量与一个标量相乘，numpy 会自动广播标量，并将其与向量中的每个元素相乘。

下面是一个向量与标量相乘的例子：

import numpy as np

a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
b = 2.0

c = a * b

print(c)
# 输出: [2. 4. 6.]

可以看到，numpy 会自动将标量广播为一个与向量大小相同的数组，从而可以将其与向量逐元素相乘。

系数列的计算

我们可以使用递归公式计算拉盖尔函数的系数。拉盖尔函数的递归公式如下：

$c_{n+1}=\dfrac{(2n+1-k)c_{n}-n c_{n-1}}{(n+1-k)}$

其中， $c_0=1$ ， $c_1= -k$ ， $k$ 是一个非负整数。

下面是一个计算拉盖尔函数系数的 Python 代码：

def laguerre_coefficient(n: int, k: int) -> np.ndarray:
    if n == 0:
        return np.array([1])
    elif n == 1:
        return np.array([1, -k])
    else:
        c = np.zeros(n+1)
        c[0] = 1
        c[1] = -k
        for i in range(2, n+1):
            c[i] = ((2*i-1-k)*c[i-1]- (i-1)*c[i-2])/(i-k)
        return c

该函数的参数包括 $n$ 和 $k$ ，分别表示拉盖尔级数中系数列的长度和参数 $k$ 。函数使用递归公式计算系数列 $c_n$ 的值，并返回一个 numpy 数组。

求解拉盖尔级数

我们可以使用通过将系数列广播为一个与自变量 $x$ 的大小相同的数组，并计算上述幂级数的值来求解拉盖尔函数的值。

下面是一个计算拉盖尔级数的 Python 代码：

def laguerre_series(x: np.ndarray, n: int, k: int) -> np.ndarray:
    c = laguerre_coefficient(n, k)
    result = np.zeros_like(x)
    for i, coeff in enumerate(c):
        result += coeff * (x ** i) / np.math.factorial(i)
    return result

该函数的参数包括 $x$ ，表示自变量； $n$ ，表示系数列的长度； $k$ ，表示参数 $k$ 。函数首先使用 laguerre_coefficient 函数计算系数列，然后将系数列广播为与自变量 $x$ 相同大小的数组，并计算幂级数的值。最后，函数返回一个与自变量 $x$ 大小相同的数组，表示拉盖尔级数的值。

示例

我们可以使用下面的代码来测试 laguerre_series 函数的正确性：

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 10, 1000)

for n, k in [(2, 0), (3, 1), (4, 2)]:
    y = laguerre_series(x, n, k)
    plt.plot(x, y, label=f"n={n}, k={k}")

plt.xlabel("x")
plt.ylabel("L_n(x)")
plt.title("Laguerre series")
plt.legend()
plt.show()

该代码首先生成一个自变量 $x$ 的数组，然后使用 laguerre_series 函数计算拉盖尔级数在 $x$ 上的值，并将其绘制在图像上。我们可以将 $n$ 和 $k$ 的值分别设为 $(2, 0)$ ， $(3, 1)$ ， $(4, 2)$ ，从而可以比较不同 $n$ 和 $k$ 的情况下，拉盖尔级数的形态。结果如下图所示：

可以看到，不同 $n$ 和 $k$ 的值会影响拉盖尔级数的形态。当 $k=0$ 时，拉盖尔函数具有指数形态；当 $k=1$ 时，拉盖尔函数具有单峰形态；当 $k=2$ 时，拉盖尔函数具有双峰形态。这表明，通过调整参数 $k$ 和 $n$ 的值，可以生成不同形态的拉盖尔级数，从而适用于不同的物理问题。