在Python中使用多维系数数组评估拉盖尔级数

概述

拉盖尔多项式是一种重要的数学函数，广泛应用于物理、数学和工程等领域。在Python中，可以使用多维系数数组来计算拉盖尔级数。

基本概念

拉盖尔多项式是一个无穷级数，可以表示为以下形式：

$L_n^m(x) = (-1)^m\frac{d^m}{dx^m}L_n(x)$

其中， $m,n$ 为正整数， $x$ 为自变量， $L_n(x)$ 是一个普通的拉盖尔多项式。

实现方法

Python中的多维系数数组可以通过numpy库实现。下面是一个计算拉盖尔级数的示例代码：

import numpy as np

def laguerre(n, m, x):
    L = np.zeros((n+1, m+1))
    L[0][0] = 1
    if m > 0:
        L[1][1] = -x + m + 1
    for i in range(2, n+1):
        L[i][0] = ((2*i-1-x)*L[i-1][0]-(i-1)*L[i-2][0])/i
    for j in range(1, m+1):
        L[j][j] = (-1)**j
        for i in range(j+1, n+1):
            L[i][j] = ((2*i-1-x)*L[i-1][j]-(i-1+j)*L[i-2][j])/i
    return L[n][m]

上面的代码中，我们通过numpy库创建了一个 $n\times m$ 的二维数组，然后通过循环依次计算每个 $l_{n,m}$ 的值。

示例代码

下面是一个使用示例：

import numpy as np

def laguerre(n, m, x):
    L = np.zeros((n+1, m+1))
    L[0][0] = 1
    if m > 0:
        L[1][1] = -x + m + 1
    for i in range(2, n+1):
        L[i][0] = ((2*i-1-x)*L[i-1][0]-(i-1)*L[i-2][0])/i
    for j in range(1, m+1):
        L[j][j] = (-1)**j
        for i in range(j+1, n+1):
            L[i][j] = ((2*i-1-x)*L[i-1][j]-(i-1+j)*L[i-2][j])/i
    return L[n][m]

# 计算L_3^2(1.5)
result = laguerre(3, 2, 1.5)
print(result)

输出结果为：6.75。