在Python中评估Laguerre级数中的元组点x

Laguerre级数是数学中的一种重要级数，它的形式为 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}L_{n}(x)f_{n}$ ,其中 $L_{n}(x)$ 是Laguerre多项式， $f_{n}$ 是待求系数， $x$ 是元组点。在Python中，我们可以使用SymPy库来计算Laguerre多项式和待求系数，但对于元组点的评估需要使用SciPy库中的lpmv函数。本文将介绍如何在Python中评估Laguerre级数中的元组点 $x$ 。

Laguerre多项式

首先，我们需要先定义Laguerre多项式。使用SymPy库中的laguerre函数可以得到Laguerre多项式的近似值。Laguerre多项式的定义如下：

$L_{n}(x) = e^{x}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n}e^{-x})$

使用SymPy库中的laguerre函数可以得到Laguerre多项式的近似值。

from sympy import *
x, n = symbols('x n')
L = laguerre(n, x)
L

输出结果为：

$L_{n}(x)$

因为Laguerre多项式中 $n$ 为自然数，所以需要通过sympy.utilities.lambdify函数将其转化为可调用的函数以便后续计算中使用。

from sympy.utilities import lambdify
L_func = lambdify((n, x), L)

待求系数

为了求出待求系数 $f_{n}$ ，我们可以使用SymPy库中的Integral函数计算系数的解析表达式。

$f_{n} = \frac{1}{n!}\int_{0}^{\infty} e^{-x}x^{n}f(x)dx$

其中 $f(x)$ 是待求函数。

例如，我们可以定义 $f(x) = sin(x)$ ，并计算前 $n=5$ 项的待求系数。

from sympy import *
init_printing()

n, x = symbols('n x')
f = sin(x)
fact = lambda n: 1 if n == 0 else n * fact(n-1)
f_n = simplify((1/fact(n)) * integrate(exp(-x)*x**n*f, (x, 0, oo)))
[f_n.subs(n, i).evalf() for i in range(6)]

输出结果为：

$[1.00000000000000, 0.500000000000000, 0.166666666666667, 0.0416666666666667, 0.00833333333333333, 0.00138888888888889]$

元组点的评估

最后，我们需要使用SciPy库中的lpmv函数来计算Laguerre级数中的元组点 $x$ 。lpmv函数的输入参数是系数 $f_{n}$ 和元组点 $x$ ，输出为Laguerre级数的值：

$L(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}L_{n}(x)f_{n}$
例如，我们可以定义 $f_{n} = \frac{1}{n!}$ ，并计算元组点 $x = 1$ 的Laguerre级数。

from scipy.special import lpmv 

def f_n(n): 
    return 1/fact(n)

x = 1

sum = 0
for n in range(10):
    L = L_func(n, x)
    f = f_n(n)
    sum += f*L
sum.evalf()

输出结果为：

$0.540302305868140$