在Python中使用4D系数数组在x、y和z的笛卡尔积上计算3D Hermite_e级数

简介

Hermite_e级数是在拟合函数的时候使用的技术，可以对函数进行优化，从而得到一个更加准确的结果。在数学和计算机领域中，常常使用Hermite_e级数来进行图像和声音处理等方面的工作。本文将介绍如何在Python中使用4D系数数组在x、y和z的笛卡尔积上计算3D Hermite_e级数。

在开始编程之前，我们先来了解一下Hermite_e级数的原理和相关概念。

Hermite_e级数是由法国数学家Charles Hermite_e提出的，可以通过给定一组系数和一个输入值来计算一系列项，然后将这些项相加，得到一个函数的数值近似值。

Hermite_e多项式是Hermite_e级数的基础，它是一个单变量多项式序列，能够较好地描述一些物理现象，比如量子力学中粒子的波函数、贝塞尔函数中的径向部分以及量子电动力学中量子电动力学作用下的电子的自能等。

具体实现

下面是在Python中计算3D Hermite_e级数的代码实现：

import numpy as np

def hermite_e(n, x):
  if n == 0:
    return np.exp(-x ** 2 / 2)
  elif n == 1:
    return np.sqrt(2) * x * np.exp(-x ** 2 / 2)
  elif n > 1:
    return (np.sqrt(2 / n) * x * hermite_e(n - 1, x) - np.sqrt((n - 1) / n) * hermite_e(n - 2, x))

def multi_dim_hermite_e(*coef):
  def f(x):
    n = len(coef)
    res = 0
    for i in range(n):
      for j in range(n):
        for k in range(n):
          res += coef[i][j][k] * hermite_e(i, x[0]) * hermite_e(j, x[1]) * hermite_e(k, x[2])
    return res
  return f

上述代码定义了两个函数，分别是hermite_e和multi_dim_hermite_e。

hermite_e函数用于计算Hermite_e多项式的具体值，其中n表示Hermite_e多项式的度数，x表示函数中的变量。对于0阶Hermite_e多项式，其结果为指数函数；对于1阶Hermite_e多项式，其结果为 $\sqrt{2} \cdot x {\cdot e}^{-{{x}^{2}}}$ 。

multi_dim_hermite_e函数用于计算3D Hermite_e级数的值，其中*coef参数是一个4D系数数组，用于存储Hermite_e级数展开式中的系数。该函数返回一个以x、y和z的笛卡尔积为输入的函数，以计算笛卡尔积中每个点处的函数值。

我们可以使用下面这个例子来测试我们的函数：

if __name__ == "__main__":
  x, y, z = np.linspace(-5, 5, 100), np.linspace(-5, 5, 100), np.linspace(-5, 5, 100)
  xx, yy, zz = np.meshgrid(x, y, z)
  coef = np.zeros((4, 4, 4, 4))
  coef[2, 1, 0, 0] = 1
  coef[1, 1, 1, 0] = 1
  coef[0, 0, 1, 3] = 1
  coef[3, 0, 0, 0] = 1
  func = multi_dim_hermite_e(coef)

  values = func([xx, yy, zz])
  # 绘制等值面
  import matplotlib.pyplot as plt
  fig = plt.figure()
  ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
  ax.contour(xx, yy, zz, values, cmap='RdYlBu')
  plt.show()

上述代码会产生一个由四个Hermite_e多项式构成的3D Hermite_e级数。我们定义的这个3D Hermite_e级数在x=2、y=2和z=2处的函数值为1，而在其他点处的函数值则与这个点的距离有关。

上述代码中，我们使用了numpy库来生成x、y和z的坐标，同时还使用了numpy库的linspace方法来生成一个等间距的数列。我们还使用了meshgrid函数来生成三维坐标空间中的网格。

我们还使用了matplotlib库来绘制等值面。contour函数用于绘制等值线/等值面，第一个参数是 $x$ 坐标，第二个参数是 $y$ 坐标，第三个参数是 $z$ 坐标，第四个参数是函数值，最后一个参数是绘图的颜色。