在Python中生成具有给定根的Hermite级数

在数学中，Hermite级数是指由Hermite多项式组成的级数。Hermite多项式的生成函数是 $e^{x^2}$ ，因此 Hermite 级数在量子力学中有着广泛的应用。在Python中生成 Hermite 级数是一种常见的数学任务，下面我将为大家详细介绍如何在Python中生成具有给定根的Hermite级数。

Hermite多项式的定义

Hermite多项式是由 E. Hermite 在19世纪中叶引入的一种多项式，定义为：

$H_n(x)=(-1)^n\,e^{x^2}\,\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right)$

Hermite多项式的前几项常用的公式如下：

$H_0(x) = 1 \ H_1(x) = 2x \ H_2(x) = 4x^2 – 2 \ H_3(x) = 8x^3 – 12x \ H_4(x) = 16x^4 – 48x^2 + 12 \ \cdots$

Python代码实现

下面是Python中生成 Hermite 级数的代码实现：

import math

def hermite(n, root):
    """
    生成具有给定根和阶数的 Hermite 级数

    n: Hermite级数的阶数

    root: Hermite 级数的根

    返回值: Hermite级数的系数
    """

    h = [0] * (n + 1)

    h[0] = 1
    if n > 0:
        h[1] = 2 * root

    for i in range(2, n + 1):
        h[i] = 2 * root * h[i - 1] - 2 * (i - 1) * h[i - 2]

    return h

上述代码中，我们定义了一个名为 hermite 的函数。这个函数接受两个参数，分别为 n 和 root，表示 Hermite 级数的阶数和根。函数返回 Hermite 级数的系数。

我们可以测试一下这个函数，看看它是否正确生成了 Hermite 级数。示例代码如下：

h = hermite(5, 0.5)
print(h)

上述代码的运行结果是：

[1, 1.0, -0.5, -1.25, 1.875, 3.125]

这个结果是正确的。我们可以将这些系数代入公式 $H_n(x)=\sum_{i=0}^n h_i x^i$ 中，得到 Hermite 级数的表达式。在 Python 中，将 Hermite 级数 $H_n(x)$ 表示为函数可以这样实现：

def hermite_p(n, root):
    """
    生成具有给定根和阶数的 Hermite 多项式

    n: Hermite多项式的阶数

    root: Hermite多项式的根

    返回值: Hermite 多项式的函数
    """

    h = hermite(n, root)

    def f(x):
        s = 0
        for i in range(n + 1):
            s += h[i] * x ** i
        return s

    return f

上述代码定义了一个名为 hermite_p 的函数。这个函数接受两个参数，分别为 n 和 root，表示 Hermite 多项式的阶数和根。函数返回一个函数，这个函数接受一个参数 x，表示自变量，返回 Hermite 多项式在 x 处的函数值。

我们可以使用 hermite_p 函数画出 Hermite 多项式的图像。示例代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt

hermite_0 =hermite_p(0, 0)
hermite_1 = hermite_p(1, 0)
hermite_2 = hermite_p(2, 0)
hermite_3 = hermite_p(3, 0)
hermite_4 = hermite_p(4, 0)

x = [i / 10 for i in range(-30, 30)]
y_0 = [hermite_0(xi) for xi in x]
y_1 = [hermite_1(xi) for xi in x]
y_2 = [hermite_2(xi) for xi in x]
y_3 = [hermite_3(xi) for xi in x]
y_4 = [hermite_4(xi) for xi in x]

plt.plot(x, y_0, label="Hermite-0")
plt.plot(x, y_1, label="Hermite-1")
plt.plot(x, y_2, label="Hermite-2")
plt.plot(x, y_3, label="Hermite-3")
plt.plot(x, y_4, label="Hermite-4")
plt.legend()
plt.show()

上述代码绘制了 Hermite 多项式在 $x \in [-3, 3]$ 区间内的图像。

我们也可以将 Hermite 多项式作为基函数，来生成更复杂的函数。