在Python中，当系数为多维时，在点x处评估Legendre级数

简介

Legendre级数是经典数学问题之一，可用于近似计算函数。通过多次迭代，可以越来越接近真实函数，从而可以在不需要求解实际函数的前提下进行数值计算。在Python中，我们可以使用sympy库来求解Legendre级数。

公式

对于一维Legendre级数，我们可以使用以下公式：

$f(x)=\sum_{l=0}^{\infty}\left(\frac{2l+1}{2} \int_{-1}^{1} d P_{l}(t) f(t) P_{l}(x)\right)\=\sum_{l=0}^{\infty}\left(\frac{2l+1}{2} \int_{-1}^{1} d t \frac{1}{2^{l} l !}(t^{2}-1)^{l} \frac{d^{m}}{d t^{l}} f(t) P_{l}(x)\right)$

对于多维Legendre级数，我们可以把公式推广到多维情况下：

$f(\vec{x})=\sum_{\vec{l} \in \mathbb{Z}^{d}} \alpha_{\vec{l}} P_{\vec{l}}(\vec{x})$

其中， $\vec{l}=(l_{1},l_{2},\cdots,l_{d})$ ，$\alpha_{\vec{l}}=\frac{(2 \vec{l}+d-1) !}{2^{|\vec{l}|}(l_{1} !)(l_{2} !) \cdots(l_{d} !)} \int_{\mathcal{S}{d-1}} \operatorname{d} \Omega \ f(\vec{t}) P{\vec{l}}(\vec{t})$

代码实现

我们可以使用Python的sympy库来求解多维Legendre级数。首先，我们需要定义一个多项式：

import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols('x y z')
xi, eta, mu = sp.symbols('xi eta mu')

d = 3  # 3维多项式
l = 2  # Legendre级数次数

# 定义多项式
P = []
for i in range(l+1):
    for j in range(l+1):
        for k in range(l+1):
            if i+j+k <= l:
                res = xi**i * eta**j * mu**k
                res *= (1 - xi**2 - eta**2 - mu**2)**((l-i-j-k)/2)
                P.append(res)

上述代码定义了一个3维空间中的多项式，次数为2，可以替换为其他维数和次数。接下来，我们定义由符号函数组成的函数：

# 定义符号函数组成的函数
func = sp.Function('func')(x, y, z)

然后，我们定义一个代表系数的符号向量，并将其转化为Matrix，以便于之后的计算：

# 定义系数向量
c_vec = sp.Matrix(sp.symbols(f'c_0:{len(P)}'))

# 组合多项式与系数向量
P_vec = sp.Matrix(P)

接着，我们把多项式向量与系数向量进行内积，得到Legendre级数：

# 计算内积
s = sp.Matrix(list(c_vec.T * P_vec))

# 简化表达式
s = sp.simplify(s)

现在，我们可以输入一个3D点，并使用求解出来的Legendre级数计算函数的值：

# 在指定点x处计算值
x_val, y_val, z_val = 0.5, 0.5, 0.5
s_x = s.subs({xi: x_val, eta: y_val, mu: z_val})

val = s_x.subs({c_vec[i]: 1 for i in range(len(c_vec))}) * func
使用上述代码，我们可以在Python中计算多维Legendre级数，并在给定点上评估函数的值。下面是完整代码示例：

```python
import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols('x y z')
xi, eta, mu = sp.symbols('xi eta mu')

d = 3  # 3维多项式
l = 2  # Legendre级数次数

# 定义多项式
P = []
for i in range(l+1):
    for j in range(l+1):
        for k in range(l+1):
            if i+j+k <= l:
                res = xi**i * eta**j * mu**k
                res *= (1 - xi**2 - eta**2 - mu**2)**((l-i-j-k)/2)
                P.append(res)

# 定义符号函数组成的函数
func = sp.Function('func')(x, y, z)

# 定义系数向量
c_vec = sp.Matrix(sp.symbols(f'c_0:{len(P)}'))

# 组合多项式与系数向量
P_vec = sp.Matrix(P)

# 计算内积
s = sp.Matrix(list(c_vec.T * P_vec))

# 简化表达式
s = sp.simplify(s)

# 在指定点x处计算值
x_val, y_val, z_val = 0.5, 0.5, 0.5
s_x = s.subs({xi: x_val, eta: y_val, mu: z_val})

val = s_x.subs({c_vec[i]: 1 for i in range(len(c_vec))}) * func

print(val) # 输出在点(0.5, 0.5, 0.5)处的函数值