如何用 Python 生成具有给定复根的 Laguerre 级数|极客笔记

前言

Laguerre级数是常见的特殊函数之一，具有许多实际应用，例如在量子力学、电动力学和热力学中常常出现。本文将介绍如何用 Python 生成具有给定复根的 Laguerre 级数，并给出相关的示例代码。

Laguerre级数的定义

先来简单介绍一下 Laguerre 级数的定义。Laguerre级数是形如 $L_n^{\alpha}(x)=\frac{x^{-\alpha} e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^{n+\alpha}e^{-x})$ 的一类级数，其中 $n$ 是整数， $\alpha$ 是实数，并且 $x$ 是实数。在本文中，我们主要研究具有给定复根的 Laguerre级数，即 $\alpha$ 为复数的情况。

Laguerre级数的计算方法

要生成具有给定复根的 Laguerre 级数，可以使用 scipy 库中的 special.laguerre 函数。该函数的定义如下：

import scipy.special as sp
sp.laguerre(x, n, alpha=0)

其中，x 是实数或复数，n 是整数，表示 Laguerre 级数的次数。参数 alpha 是可选的，表示 Laguerre 的参数 $\alpha$ ，默认值为 0。

生成具有给定复根的 Laguerre 级数的示例代码

接下来，我们用一些具体的例子来演示如何用 Python 生成具有给定复根的 Laguerre级数。示例中，我们取 $\alpha=1+i$ 。

示例 1

我们首先生成一个具有实参数的 Laguerre级数，以便与后面的复参数 Laguerre级数进行对比。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义参数
alpha = 1 + 1j
n = 5
x = np.linspace(0, 10, 100)

# 计算实参数 Laguerre级数
y_real = sp.laguerre(x, n, alpha=alpha.real)

# 绘制图像
plt.plot(x, y_real)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Laguerre')
plt.title('Real Laguerre')

plt.show()

上述代码将生成具有给定复根的 Laguerre 级数的实参数情况的图像。可以看出，该函数在 $x \in [0,10]$ 的范围内增长，并在 $x=0$ 处取最大值。

示例 2

接下来我们将生成具有给定复根的 Laguerre级数的复参数情况。我们对上述代码稍加修改即可。

# 定义参数
alpha = 1 + 1j
n = 5
x = np.linspace(0, 10, 100)

# 计算复参数Laguerre级数
y_complex = sp.laguerre(x, n, alpha=alpha)

# 绘制图像
plt.plot(x, np.real(y_complex), label='real part')
plt.plot(x, np.imag(y_complex), label='imaginary part')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Laguerre')
plt.title('Complex Laguerre')
plt.legend()

plt.show()

上述代码将生成具有给定复根的 Laguerre 级数的复参数情况的图像。可以看出，该函数在 $x \in [0,10]$ 的范围内有两个最大值，并且存在实部和虚部。