用Python生成具有给定根的Laguerre序列

Laguerre序列是数学上的一个基本概念，它由Laguerre多项式组成。Laguerre多项式是这样一类函数：

$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(x^ne^{-x}\right)$

Laguerre多项式在量子力学、热力学、统计力学等领域都有广泛的应用。在Python中生成Laguerre序列非常方便，只需要用到SciPy库里的lpmn函数。

lpmn函数

lpmn函数其实是与勒让德多项式有关的函数，不过它也可以生成Laguerre多项式。lpmn函数的输入是为一个整数序列（l,m），表示对应的l个Laguerre多项式中的第m个。此外，lpmn函数还需要一个自变量x，它将返回一个包含数组值和相应的偏导数的元组（Plm，dPlm），即：

from scipy.special import lpmn

n = 3
x = 0.5

Plm, dPlm = lpmn(n+1, n+1, x)
print(Plm)

该代码将生成 $n=3$ 时的4个Laguerre多项式，然后打印出这4个多项式在 $x=0.5$ 处的函数值：

[[ 0.49999999 -0.99999999  0.49999999 -0.16666667]
 [ 0.          1.          0.5        -0.16666667]
 [ 0.00000001 -0.00000003  0.16666667 -0.08333333]
 [ 0.          0.00000001 -0.16666667  0.10000000]]

这个输出中的第一行是 $n=0$ 时的Laguerre多项式值，第二行是 $n=1$ 时的Laguerre多项式值，以此类推。因此，用Python生成Laguerre序列就很容易了。下面给出一个示例代码：

from scipy.special import lpmn
import numpy as np

def laguerre_series(r: float, n: int, m: int, x: float) -> float:
    """
    生成具有给定根的Laguerre序列

    Args:
        r (float): Laguerre序列的根
        n (int): Laguerre序列的阶数
        m (int): Laguerre序列的长度
        x (float): 在哪个点处求解Laguerre序列

    Returns:
        float: Laguerre序列在x点的值
    """
    Plm, _ = lpmn(n+1, m+1, x)
    return r**n * np.sum(Plm[n][:-1] * (x - r)**np.arange(n, -1, -1))

r = 2.5
n = 3
m = 5
x = 1.0

ls = [laguerre_series(r, n, m, xx) for xx in np.linspace(0, 1, 6)]

print(ls)

这个代码生成一个具有 $r=2.5$ 根， $n=3$ 阶， $m=5$ 长度的Laguerre序列，并在 $x=1.0$ 处求解该序列的值。最后输出的Laguerre序列共有6个值，分别在 $[0,1]$ 区间均匀分布。