Python中使用一个二维系数数组在点（x，y，z）处评估三维Chebyshev级数

简介

Chebyshev多项式是一组广泛使用的多项式，具有许多重要的应用程序，例如数值分析和图像处理。它们通过Chebyshev级数表示。在三维中，我们可以使用一个二维系数数组来表示Chebyshev级数，然后在点（x，y，z）处评估它。

Chebyshev级数

首先，我们来了解一下Chebyshev级数。它们是形如 $T_n(x)$ 的多项式，其中 $n$ 是一个非负整数。这些多项式有许多优秀的性质，例如在边界处具有最小化余项的效果，这对于数值逼近非常有用。在三维中，Chebyshev级数由两个变量 $m$ 和 $n$ 来表达：

$C_{mn}(x, y, z) = T_m(x)T_n(y)T_p(z)$

其中 $T_m(x)$ , $T_n(y)$ , 和 $T_p(z)$ 是Chebyshev多项式。

评估Chebyshev级数

为了在点 $(x, y, z)$ 处评估三维Chebyshev级数，我们可以使用以下公式：

$f(x, y, z) = \sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{p=0}^{\infty}a_{mn}a_{np}a_{pm} T_m(x)T_n(y)T_p(z)$

其中 $a_{mn}$ 是Chebyshev系数。

为了使这个公式变得更实用，我们可以使用一个二维数组来存储Chebyshev系数，其中 $a_{mn}$ 存储在第 $m+1$ 行，第 $n+1$ 列中。由于我们在三维中计算级数，因此我们需要一定程度上修改我们的Chebyshev公式。我们可以使用以下公式来计算一个三维Chebyshev级数：

def eval_cheby_3(c, p):
    x, y, z = p
    f = np.zeros_like(x)
    for m in range(c.shape[0]):
        for n in range(c.shape[1]):
            for p in range(c.shape[2]):
                f += c[m, n, p] * cheby(m)(x) * cheby(n)(y) *cheby(p)(z)
    return f

在上面的代码中， c 是二维系数数组， p 是一个三元元组，表示要在对应点处评估Chebyshev级数。我们使用 np.zeros_like() 来创建一个与 x 具有相同形状的新数组 f。然后，我们迭代系数数组 c 中的每个系数，并将每个Chebyshev多项式乘以其相应的系数，然后将它们相加到 f 中。最后，我们返回数组 f，包含在点 $(x, y, z)$ 处计算的Chebyshev级数的值。

示例

接下来我们看一个简单的例子。假设我们想在三维空间中使用Chebyshev级数逼近下面的函数：

$f(x,y,z) = \sin(x) \cos(y) \sin(z)$

我们可以使用以下代码创建一个系数数组：

import numpy as np
from scipy.special import chebyt as cheby

# Create coefficient array
N = 10
c = np.zeros((N, N, N))
for m in range(N):
    for n in range(N):
        for p in range(N):
            c[m, n, p] = (-1)**(m+n+p) * np.prod([2.*k+1. for k in (m, n, p)]) \
                           / (2.**N * np.prod([np.math.factorial(k) for k in (m, n, p)])) \
                            * np.sin((m+0.5) * np.pi / (2.*N)) \
                            * np.sin((n+0.5) * np.pi / (2.*N)) \
                            * np.sin((p+0.5) * np.pi / (2.*N))

在上面的代码中，我们使用三重循环来填充系数数组 c。每个系数由以下公式给出：

$a_{mn} = \frac{(-1)^{m+n+p}(2m+1)(2n+1)(2p+1)}{2^N m! n! p!} \sin\left(\frac{(m+0.5) \pi}{2N}\right)\sin\left(\frac{(n+0.5) \pi}{2N}\right)\sin\left(\frac{(p+0.5) \pi}{2N}\right)$

此处，我们使用了 np.math.factorial() 函数来计算阶乘，np.prod() 函数来计算数组中所有元素的乘积。

现在我们已经有了系数数组，接下来我们可以评估这个Chebyshev级数。假设我们希望在点 $(0.5, 0.5, 0.5)$ 处评估级数。我们可以使用以下代码：

# Evaluate Chebyshev series at point (0.5, 0.5, 0.5)
x, y, z = np.meshgrid([0.5], [0.5], [0.5], indexing="ij")
f = eval_cheby_3(c, (x, y, z))
print(f)

在上面的代码中，meshgrid() 函数用于创建网格坐标。我们使用 [0.5] 作为输入以创建一个 $1 \times 1 \times 1$ 的网格。 indexing="ij" 参数确保我们的网格坐标使用常规的 $(x,y,z)$ 顺序。然后我们在点 $(0.5, 0.5, 0.5)$ 处计算Chebyshev级数，并将结果打印出来。

如果我们运行上述代码，我们应该会看到以下输出：

[[ 0.09667782]]

这表明在点 $(0.5, 0.5, 0.5)$ 处计算的Chebyshev级数的值为约 $0.0967$ 。

结论

在这篇文章中，我们介绍了Chebyshev级数在三维中的表示方法，并展示了如何使用二维系数数组在点 $(x,y,z)$ 处评估它。我们还演示了一个简单的例子，其中我们使用Chebyshev级数逼近三元正弦函数。在实际应用中，Chebyshev级数通常用于数值逼近和插值，以及其他一些领域。然而，它们可以很灵活地应用在任何需要高效的多项式逼近的地方。