在Python中查找从第一个节点到最后一个节点的受限路径数量

简介

在实际生活中，我们常常需要在图中查找从一个节点到另一个节点的路径数量。如果我们要求路径必须满足一定的条件，就称之为受限路径。在本篇文章中，我们将讨论如何使用Python来查找从第一个节点到最后一个节点的受限路径数量。

受限条件

在本文中，我们要求路径必须满足以下条件：

路径中节点的值必须单调不降；
路径中连续的若干个节点的值的差值之和必须小于等于给定的阈值。

下面是一个示例图及其节点值：

# 示例图的节点值
graph = [
    [1, 2, 3],
    [2, 3, 4],
    [3, 4],
    [4],
    []
]

暴力方法

首先，我们可以使用暴力方法来查找从第一个节点到最后一个节点的受限路径数量。具体方法是，从第一个节点开始，依次遍历图中所有路径，对每个路径都进行判断，如果满足条件就计数。

代码实现如下：

# 暴力方法
def count_paths(graph, threshold):
    n = len(graph)
    count = 0
    for i in range(2 ** (n - 1)):
        path = [0]
        for j in range(n - 1):
            if (i >> j) & 1:
                path.append(j + 1)
        if path[-1] == n - 1:
            if all(graph[path[k]][path[k + 1]] <= threshold for k in range(len(path) - 1)):
                count += 1
    return count

上述代码中使用了二进制位运算，遍历了图中所有的路径，并对每个路径进行判断，最后返回计数器的值。这种方法的时间复杂度是 $\mathcal O(2^n \times n^2)$ 。

动态规划

我们可以用动态规划的方法来加速计算。具体地，我们考虑状态和状态转移方程。

状态：设 $f(i,j)$ 为从第 $i$ 个节点到第 $j$ 个节点的受限路径数量。则状态 $f(i,j)$ 有以下几种情况：

路径中包含它们之间的所有节点，则 $f(i,j) = 1$ ；
路径中特定节点之间的差值之和大于阈值，则 $f(i,j) = 0$ ；
$i$节点的值大于$j$节点的值，则$f(i,j) = 0$；
$i$节点的后继节点中有一个大于$j$节点的值，则$f(i,j) = \sum_k f(i,k)$，其中$k$是$i$节点的后继节点中小于等于$j$节点的值的节点。

状态转移方程：对于第一种情况，状态转移方程为 $f(i,j) = 1$ ；对于其他情况，状态转移方程为：

$f(i,j) = \sum_k f(i,k) \quad k \in S(i,j)$

其中 $S(i,j)$ 是 $i$ 节点的后继节点中小于等于 $j$ 节点的值的节点的集合。

代码实现如下：

# 动态规划
def count_paths(graph, threshold):
    n = len(graph)
    f = [[0 for j in range(n)] for i in range(n)]
    f[0][0] = 1
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if graph[i] and graph[i][-1] > j:
                continue
            for k in graph[i]:
                if k <= j:
                    if f[i][k]:
                        f[i][j] += f[i][k]
                else:
                    break
            if i == j or f[i][j]==0 or graph[i][0] > j or graph[j - 1][-1] < i or sum(graph[i][t] - graph[i][t - 1] for t in range(1, len(graph[i]))) + graph[i][0] + graph[j - 1][-1] > threshold:
                continue
            f[i][j] += 1 if j == n - 1 else f[j][j]
    return f[0][n - 1]

上述代码中的2个for循环遍历所有可能的状态，根据状态转移方程计算 $f(i,j)$ 并更新。由于某些状态不能转移，进行跳过操作。返回的是 $f(0,n-1)$ 即从第1个节点到最后一个节点的受限路径数量。

这种方法的时间复杂度是 $\mathcal O(n^3)$ 。如果用空间换时间，可以将空间复杂度降到 $\mathcal O(n^2)$ 。