在 Python 中检查给定点是否在给定多边形内部或边界上的程序

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简介

本文将介绍在 Python 中如何检查给定点是否在给定多边形内部或边界上。在实际应用中，很多地理信息系统和数据分析领域的问题都需要使用到此类算法。

在本文中，我们将讨论两种常见的算法：射线法和点积法。通过这两种算法，读者将能够快速地编写出适用于不同应用场景的程序。

射线法

射线法（Ray Casting）通过射线与多边形边界的交点来确定多边形内部或外部。具体来说，从点 P 把一条射线向某个方向（如 x 轴正方向）射出，如果此射线与多边形边界有奇数个交点，则 P 在多边形内部；否则 P 在多边形外部。

以下是射线法的 Python 代码实现：

def point_in_polygon(point, polygon):
    x, y = point
    count = 0
    for i in range(len(polygon)):
        start = polygon[i]
        end = polygon[(i + 1) % len(polygon)]
        if ((start[1] > y) != (end[1] > y)) and \
                (x < (end[0] - start[0]) * (y - start[1]) / (end[1] - start[1]) + start[0]):
            count += 1
    return count % 2 == 1

其中，point 是待检查的点，polygon 是多边形的顶点列表。该函数通过遍历多边形的边界，计算射线与边界的交点数，最终返回点是否在多边形内部。

以下是一个使用射线法判断点是否在矩形内部的示例：

polygon = [(1, 1), (3, 1), (3, 3), (1, 3)]
print(point_in_polygon((2, 2), polygon))  # True
print(point_in_polygon((4, 2), polygon))  # False

上述代码中，polygon 列表中存储矩形的四个顶点坐标，通过调用 point_in_polygon 函数，便可知道指定点是否在矩形内部。

点积法

点积法（Crossing Number）通过统计射线与多边形相交的次数来确定多边形内部或外部。具体来说，对于每一条由多边形中的两点定义的边 AB，其中 A=(x_A, y_A), B=(x_B, y_B)，检查 P 点和 y 轴的交点 y_0 是否在 A 和 B 的纵坐标之间，并计算射线与 AB 的交点 (x_0, y_0) 的横坐标。如果 x_0 > P_x，则将交点数加 1，否则不计算。

以下是点积法的 Python 代码实现：

def point_in_polygon(point, polygon):
    x, y = point
    count = 0
    for i in range(len(polygon)):
        start = polygon[i]
        end = polygon[(i + 1) % len(polygon)]
        if (start[1] > y) != (end[1] > y):
            x_cross = float(end[0] - start[0]) * (y - start[1]) / float(end[1] - start[1]) + start[0]
            if x_cross > x:
                count += 1
    return count % 2 == 1

连同射线法一样，point 是待检查的点，polygon 是多边形的顶点列表。上述代码通过遍历每个边，计算交点并统计次数，最终返回点是否在多边形内部。

以下是一个使用点积法判断点是否在三角形内部的示例：

triangle = [(1, 1), (3, 1), (2, 3)]
print(point_in_polygon((2, 2), triangle))  # True
print(point_in_polygon((4, 2), triangle))  # False

上述代码中，triangle 列表中存储三角形的三个顶点坐标，通过调用 point_in_polygon 函数，便可知道指定点是否在三角形内部。

总结

本文介绍了两种常见的算法：射线法和点积法，用于检查给定点是否在给定多边形内部或边界上。基于这些算法，开发者可以快速构建出在不同应用场景下的程序，如地理信息系统、数据分析和计算机视觉等领域。

以上是本文的全部内容，读者可以根据实际应用需求选择适当的算法，并参考上述示例代码加以实现和优化。