Numpy 约束线性回归概述

在机器学习的数学模型中，线性回归可以人工调整优化参数以达到最优化预测模型，但是在实际应用过程中，往往需要给出补充条件来约束模型。Numpy约束线性回归即是基于约束条件来进行线性回归。在该文中，我们将简要介绍Numpy约束线性回归的方法、使用和优化。

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基本约束条件

约束条件是线性回归算法引入的一个新概念。在许多情况下，模型需要满足特定的约束条件以使得结果更加合理。下面是一些基本的约束条件：

非负约束条件

在某些情况下，我们期望预测结果是非负的，例如对于销售数据的预测可能不能出现负数。此时，我们可以添加一个非负约束条件。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 设计矩阵
X = np.array([
    [1, 1],
    [1, 2],
    [1, 3],
    [1, 4],
    [1, 5],
])

# 回归目标数组
y = np.array([2.3, 4.4, 6.6, 8.2, 9.8])

# 定义损失函数
def loss(w):
    return ((X @ w - y)**2).sum()

# 定义约束条件
linear_constraint = minimize(lambda x: -x[0],
                             constraints={'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x},
                             bounds=((0, None), (None, None)))

# 最小化损失函数
res = minimize(loss, [0.5, 0.5], method='Nelder-Mead', constraints=[linear_constraint])
print(res.x)

这里的线性约束条件是 $w_1 \geq 0$ 。

L1/L2 正则化约束条件

正则化是一种广泛应用于回归算法中的技术。它通过增加模型的惩罚项来防止过拟合。为了限制模型的范数，L1和L2正则化是两种不同的优化策略。L1参数配置有参数简化的功能，L2解决多重共线性问题。

L2_constraint = minimize(lambda x: 5*x[0] + x[1],
                         constraints={'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[0]+x[1]-2},
                         bounds=((-10, 10),(-10, 10)))
res = minimize(lambda x: np.linalg.norm(X @ x - y, 2) ** 2 + np.linalg.norm(L2_constraint.x, 2) ** 2,
               method='SLSQP', x0=[1, 1], constraints=[L2_constraint])

等式约束条件

等式约束条件是对于某些要求满足特定等式的情况，例如总支出必须等于总收入。

# 设计矩阵
X = np.array([
    [1, 1, 1],
    [1, 2, 3],
])

# 回归目标数组
y = np.array([1, 2])

# 相等约束条件
equality_constraint = {'type': 'eq', 'fun': lambda w: np.array([w[0]+w[1]+w[2]-3])}

# 最小化损失函数
res = minimize(lambda w: np.linalg.norm(X @ w - y, 2)**2, [0, 0, 0], constraints=[equality_constraint])
print(res.x)

本例中有一个等式约束条件，即使得 $w_0 + w_1 + w_2 = 3$ 。

不等式约束条件

不等式约束条件用于限制x或y的值，例如将某些变量的取值限制在一定的范围内。

# 设计矩阵
X = np.array([
    [1, 1],
    [1, 2],
    [1, 3],
    [1, 4],
    [1, 5],
])

# 回归目标数组
y = np.array([2.3, 4.4, 6.6, 8.2, 9.8])

# 定义损失函数
def loss(w):
    return ((X @ w - y)**2).sum()

# 定义约束条件
inequality_constraint = {'type': 'ineq', 'fun': lambda w: w[0] + w[1] - 1}

# 最小化损失函数
res = minimize(loss, [0.5, 0.5], method='SLSQP', constraints=[inequality_constraint])
print(res.x)

这里定义的不等式约束条件是 $w_0 + w_1 – 1 \geq 0$ 。

高级约束条件

除了基本的约束条件之外，Numpy还提供了更加复杂的约束条件来满足更广泛的应用场景。

Box 约束条件

Box约束条件限制模型的参数在预先定义的区域内。例如，如果我们希望某个参数在区间[0, 1]内变化，则可以如下定义：

# 设计矩阵
X = np.array([
    [1, 1],
    [1, 2],
    [1, 3],
    [1, 4],
    [1, 5],
])

# 回归目标数组
y = np.array([2.3, 4.4, 6.6, 8.2, 9.8])

# 定义损失函数
def loss(w):
    return ((X @ w - y)**2).sum()

# 定义约束条件
bounds_constraint = [(0, 1), (None, None)]

# 最小化损失函数
res = minimize(loss, [0.5, 0.5], method='L-BFGS-B', bounds=bounds_constraint)
print(res.x)

P-Cone约束条件

P-Cone约束条件可用于约束一组参数的范数。例如，通过限制二次项的参数在一个P-Cone中，可以将一般线性模型转化为二次规划问题。

from sympy import *
init_printing(use_unicode=True)

# 设计矩阵
X = np.array([
    [1, 1],
    [1, 2],
    [1, 3],
    [1, 4],
    [1, 5],
])

# 回归目标数组
y = np.array([2.3, 4.4, 6.6, 8.2, 9.8])

# 定义损失函数
def loss(w):
    return ((X @ w - y)**2).sum()

# 定义约束条件
p = Symbol('p', positive=True)
p_constraint = {'type': 'ineq', 'fun': lambda w: p**2 * (w**2).sum() - w[0]**2 - w[1]**2}

# 最小化损失函数
res = minimize(loss, [0.5, 0.5], method='SLSQP', constraints=[p_constraint])
print(res.x)

这里定义的P-Cone约束条件是 $|\mathbf{w}|_p \leq 1$ ，其中 $p>0$ 。