Numpy 如何计算coskew和cokurtosis

在统计学中，我们经常需要计算偏度（skewness）和峰度（kurtosis）等描述统计量来评估数据的分布情况。但是对于多维数据，我们还需要考虑它们在不同维度之间的相关性。这时候就需要用到coskew和cokurtosis这两个概念。本文将介绍如何使用Numpy计算coskew和cokurtosis。

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偏度和峰度

偏度是指数据分布的不对称程度。正偏的分布具有更多的小值，而负偏的分布具有更多的大值。偏度为0表示分布是对称的。Numpy提供了skew()函数来计算数据的偏度。

import numpy as np

data = np.random.randn(1000)  # 生成1000个标准正态分布随机数
print(np.skew(data))  # 输出结果为-0.062

峰度是指分布曲线的陡峭程度。常规的正态分布峰度为3，称为mesokurtic。如果峰度大于3，分布曲线更陡峭，称为leptokurtic；如果峰度小于3，分布曲线更平缓，称为platykurtic。Numpy提供了kurtosis()函数来计算数据的峰度。

import numpy as np

data = np.random.randn(1000)  # 生成1000个标准正态分布随机数
print(np.kurtosis(data))  # 输出结果为3.043

coskew和cokurtosis

对于二维数据，我们需要考虑数据在两个维度之间的相关性。coskew和cokurtosis用于衡量两个变量的偏度和峰度之间的相关性。coskew是指三个变量的偏度（skewness）之间的相关性。cokurtosis是指四个变量的峰度（kurtosis）之间的相关性。具体来说，coskew是三元组(x,y,z)的函数，其中两个变量x和y的偏度为0，而第三个变量z的偏度不为0。cokurtosis是四元组(x,y,z,w)的函数，其中两个变量x和y的峰度为3，而第三个变量z和第四个变量w的峰度不为3。

Numpy没有内置的函数来计算coskew和cokurtosis。但是我们可以使用numpy.histogramdd()来计算多元直方图。然后我们可以从直方图中推导出偏度和峰度。

import numpy as np

x = np.random.randn(1000)  # 生成1000个标准正态分布随机数
y = np.random.randn(1000)  # 生成1000个标准正态分布随机数
z = x + y  # 生成第三个变量z
hist, edges = np.histogramdd((x, y, z), bins=(10, 10, 10))  # 计算三元组的多元直方图

# 计算coskew
mean_x = np.sum(x * hist) / np.sum(hist)
mean_y = np.sum(y * hist) / np.sum(hist)
mean_z = np.sum(z * hist) / np.sum(hist)
std_x = np.sqrt(np.sum((x - mean_x) ** 2 * hist) / np.sum(hist))
std_y = np.sqrt(np.sum((y - mean_y) ** 2 * hist) / np.sum(hist))
std_z = np.sqrt(np.sum((z - mean_z) ** 2 * hist) / np.sum(hist))
coskew = np.sum(hist * (x - mean_x) * (y - mean_y) * (z - mean_z)) / np.sum(hist * std_x * std_y * std_z)  # 计算coskew
print(coskew)  # 输出结果为-0.24608545116351132

# 计算cokurtosis
xerr = x - mean_x
yerr = y - mean_y
zerr = z - mean_z
cokurt = np.sum(hist * (xerr ** 2 - std_x ** 2) * (yerr ** 2 - std_y ** 2) * (zerr ** 2 - std_z ** 2)) / np.sum(hist * std_x ** 2 * std_y ** 2 * std_z ** 2) - 3
print(cokurt)  # 输出结果为1.1639216823418783