在Python中获取勒让德级数的最小二乘拟合

前言

勒让德级数是指在数学上，以勒让德多项式为基础的一组函数列，常被用于解决许多物理、工程和数学问题中的特定问题。最小二乘拟合则是将给定的数据点拟合到一个高阶函数中，以便能够更好地解释和预测数据。

在接下来的文章中，我们将介绍如何在Python中获取勒让德级数的最小二乘拟合。

准备工作

在开始之前，我们需要确保已经安装了NumPy和SciPy库。这两个库是进行科学计算和数学分析的重要工具，可以帮助我们快速处理数据和进行优化。

import numpy as np
import scipy.special as sp

我们还需要一些用于拟合的数据。这里，我们将使用随机生成的数据点。代码如下：

# 生成1到100之间的100个随机数作为x轴
x = np.linspace(1, 100, 100)

# 根据sin函数生成随机的y轴数据点，并加上标准正态分布的噪声
y = np.sin(x) + 0.1*np.random.randn(100)

拟合勒让德级数

现在我们已经准备好了数据，接下来就可以用勒让德级数拟合我们的数据了。勒让德级数可以表示为以下形式：

$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} [(x^2-1)^n]$

这里， $n$ 表示级数的阶数， $x$ 是自变量。在Python中，可以使用SciPy库中的legendre函数来生成勒让德多项式。

# 定义拟合函数
def legendre_fit(x, y, degree):
    '''用勒让德级数拟合数据'''

    # 生成勒让德多项式作为基函数
    xx = np.linspace(-1, 1, len(x))
    basis = [sp.legendre(i)(xx) for i in range(degree+1)]
    basis = np.array(basis).T

    # 计算最小二乘拟合系数
    c, _, _, _ = np.linalg.lstsq(basis, y, rcond=None)

    # 计算拟合后的值
    yy = np.dot(basis, c)
    return yy

这个函数使用sp.legendre函数生成了 $0$ 到 $degree$ 阶的勒让德多项式，并将它们作为基函数。然后，它调用np.linalg.lstsq函数来计算最小二乘拟合的系数，并返回拟合后的值。

让我们将定义好的函数应用到生成的数据中，并将拟合后的数据可视化。

import matplotlib.pyplot as plt

# 使用5阶的勒让德级数拟合数据
yy = legendre_fit(x, y, 5)

# 画图
plt.plot(x, y, 'o', label='Original data')
plt.plot(x, yy, 'r', label='Fitted line')
plt.legend()
plt.show()

在这个例子中，我们使用了 $5$ 阶的勒让德级数来拟合我们的数据。我们可以通过更改调用legendre_fit函数的参数，来尝试不同阶数的级数拟合。

# 使用10阶的勒让德级数拟合数据
yy = legendre_fit(x, y, 10)

# 画图
plt.plot(x, y, 'o', label='Original data')
plt.plot(x, yy, 'r', label='Fitted line')
plt.legend()
plt.show()

我们可以看到，使用更高阶的勒让德级数可以更好地拟合数据。但是需要注意，阶数越高，模型就会变得越复杂，可能会导致过拟合。因此，在选择拟合函数的阶数时，应该进行权衡，找到适合数据的最佳拟合函数。