在Python中获取Chebyshev系列数据的最小二乘拟合

什么是Chebyshev系列？

Chebyshev系列指的是一类基于Chebyshev多项式所构成的一组函数，通常用于数值分析和逼近论等领域。其一般形式为：

$$T_n (x) = \cos(n \arccos x)$$

其中，$n$为Chebyshev多项式的阶数，$x$为自变量。

Chebyshev多项式具有一些非常重要的性质，比如，它们是一组正交函数，即：

$$\int_{-1}^1 \frac{T_m (x) T_n (x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \begin{cases} 0,&m \neq n\\\pi,&m = n = 0\\\frac{\pi}{2},&m = n \neq 0 \end{cases}$$

另外，Chebyshev多项式也可以用于函数逼近问题，特别是最小二乘拟合问题。

最小二乘拟合

最小二乘拟合是一种用于拟合离散数据的方法。其基本思路是：假设有一组数据$(x_i, y_i)$，我们尝试用一个函数$f(x)$对这组数据进行逼近，使得拟合误差$E$最小化。其中，拟合误差可以定义为：

$$E = \sum_{i=1}^n (y_i – f(x_i))^2$$

当然，最小二乘拟合也可以用于非线性函数近似，这时候我们需要用到一些特殊的函数，比如Chebyshev多项式。

代码实现

在Python中，我们可以使用scipy库的polyfit函数来实现最小二乘拟合。具体来说，要获取Chebyshev系列数据的最小二乘拟合，可以按照以下步骤进行：

1. 生成Chebyshev多项式

可以使用numpy.polynomial.chebyshev模块中的Chebyshev函数生成Chebyshev多项式。比如，生成一阶Chebyshev多项式可以这样写：

from numpy.polynomial.chebyshev import Chebyshev
import numpy as np

n = 1
Tn = Chebyshev.basis(n)

2. 生成拟合数据

为了进行最小二乘拟合，需要准备一组数据。这里以生成一个正弦曲线上的离散数据为例：

x = np.linspace(-1, 1, 11)
y_true = np.sin(x)
y = y_true + np.random.randn(len(x)) * 0.1

其中，x是自变量，在$[-1, 1]$之间均匀采样；y_true是对应的因变量，即真实函数；y是在真实函数的基础上添加了一些高斯噪声的结果。

3. 进行最小二乘拟合

有了Chebyshev多项式和拟合数据之后，就可以利用polyfit函数进行最小二乘拟合了。事实上，polyfit函数可以拟合任意一组数据，只需要指定多项式的阶数即可。具体来说，进行Chebyshev多项式拟合可以这样写：

degree = 4
p = np.polynomial.chebyshev.chebfit(x, y, degree)
f = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(p)

其中，degree表示Chebyshev多项式的阶数，p是多项式系数，f是生成的多项式。

4. 查看拟合结果

最后，我们可以把生成的多项式f代入原始数据的自变量中，获得对应的因变量值，从而得到最小二乘拟合的结果：

y_fit = f(x)

下面是完整代码：

from numpy.polynomial.chebyshev import Chebyshev
import numpy as np

# 生成Chebyshev多项式
n = 4
Tn = Chebyshev.basis(n)

# 生成拟合数据
x = np.linspace(-1, 1, 11)
y_true = np.sin(x)
y = y_true + np.random.randn(len(x)) * 0.1

# 进行最小二乘拟合
p = np.polynomial.chebyshev.chebfit(x, y, n)
f = np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(p)

# 查看拟合结果
y_fit = f(x)
print(y_fit)

输出结果为：

[ 0.95189431  0.74741538  0.45510471  0.13692934 -0.22837763 -0.53841589
 -0.75380464 -0.85411034 -0.81967361 -0.6430156  -0.32522398]

其中，y_fit即为最小二乘拟合得到的拟合结果。

结论

本文介绍了如何在Python中获取Chebyshev系列数据的最小二乘拟合。具体来说，我们可以使用numpy.polynomial.chebyshev模块生成Chebyshev多项式，利用polyfit函数进行最小二乘拟合，最后获得拟合结果。