Python 科赫曲线和科赫雪花

简介

分形的研究通过揭示自然的奥秘，彻底改变了我们对复杂性和混乱性的认识。科赫曲线和科赫雪花是两个非常有趣的分形，它们保留了很多好奇的元素。在本文中，我们将从概念化、数学特性和实用性方面对这些几何奇迹进行探讨。

理解科赫曲线

科赫曲线最初由瑞典数学家赫尔格·冯·科赫在1904年的一篇著作中描述。这种分形形状通常被称为科赫岛或科赫星，使用迭代构建方法创建。

构建科赫曲线的步骤如下：

从一段直线开始。
将这条直线分成三等分。
移除中间部分，并用两段相同长度的线段替代，形成一个等边三角形。
对每一条线段，不断重复上述步骤。

科赫曲线的反直觉特性使它非常迷人。它是一条一维线，但由于每次迭代都会将其分割成更小的部分，因此它的长度是无限的。然而，它所包围的区域仍然是有限的，这导致了一个引起学术界高度关注的数学难题。

科赫雪花：分形的新星

从科赫曲线生成的一种几何形状是科赫雪花，通常被称为科赫星、科赫岛或者简称科赫。这是最早被描述的分形曲线之一。

创建科赫雪花的步骤如下：

首先创建一个等边三角形。
按照创建科赫曲线的步骤，为每条边创建三角形的侧面。
无限次重复上述步骤。

令人惊讶的是，科赫雪花的周长是无穷大，但包围的区域是有限的，就像科赫曲线一样。这个事实突显了分形几何的反直觉特性。

科赫曲线和科赫雪花的示例

示例1：科赫曲线的数学表示

科赫曲线可以用复数以引人入胜的方式进行可视化。下面的公式可以用来根据第n次迭代的曲线（记为F(n)），构造第(n-1)次迭代（记为F(n-1)）。

F(n) = 1/3 F(n-1) + e^(iπ/3) * 1/3 F(n-1) + e^(2iπ/3) * 1/3 F(n-1) + 1/3 F(n-1)

当e^(iπ/3)和e^(2iπ/3)代表复数，负责形成曲线峰值的旋转时。

示例2：编码科赫雪花

一个生成科赫雪花的Python程序可以展示其迭代过程。

import turtle

def koch_snowflake(order, size):
   if order == 0:
      turtle.forward(size)
   else:
      koch_snowflake(order-1, size/3)
      turtle.left(60)
      koch_snowflake(order-1, size/3)
      turtle.right(120)
      koch_snowflake(order-1, size/3)
      turtle.left(60)
      koch_snowflake(order-1, size/3)

turtle.speed(0)
turtle.penup()
turtle.goto(-150, 90)
turtle.pendown()

for i in range(3):
   koch_snowflake(4, 300)
   turtle.right(120)
turtle.done()

这个Python程序通过使用递归函数调用来实现迭代过程，绘制了一个四阶科赫雪花。初始三角形在每一边上递归地分解成较小的部分，以创建独特的分形图案。