在Python中查找所有成对的按位AND的XOR总和的程序

当我们需要对大量数据进行逐一处理时，编写高效可靠的程序变得尤为重要。本文将介绍如何在 Python 中查找所有成对的按位 AND 的 XOR 总和，以及其中涉及的一些基本操作。

问题

考虑一个包含n个非负整数的列表。我们想要查找所有二元组 (i,j) (i<j)，满足 a[i] AND a[j] 的值等于 a[i] XOR a[j] 。其中AND和XOR是按位二进制运算符。此题的目标是计算满足此条件的 (i,j) 对数。

下面是一个示例列表：

a = [5, 10, 15, 20, 25]

我们需要找到满足 a[i] AND a[j] a[i] XOR a[j] 的 (i,j) 对数。

思路

我们将首先尝试理解并分析所给出的条件。当 a[i] XOR a[j] 为1时，才有可能满足 a[i] AND a[j] 的值等于 a[i] XOR a[j] 。

有一个简单的结论可以帮助我们更好地理解这个条件：当任意两个整数 a 和 b 满足 a XOR b = c 时，我们都有 a XOR c = b 和 b XOR c = a 。这是因为按位异或运算符满足交换律和结合律。因此，我们可以将上述条件转化为：

a[i] XOR a[j] c
<=>
a[i] XOR c a[j]
a[j] XOR c a[i]

可以看到，我们可以使用另一个数 c 来构造这个等式，而不是继续查找所有存在口令的 a[i] 和 a[j]。

获得这个数字之后，我们可以遍历原始列表并尝试使用已知的按位异或操作结果来计算，以找到与之对应的数字。如果找到了，我们增加计数器并更新数字 c，继续查找下一个符合条件的数字。

因为我们只关注出现在 i<j 的元素对，所以我们只需要考虑从列表中的位置 0 到 i-1 的所有元素。我们也可以使用嵌套的 for 循环来枚举可能的元素对，并计算它们的值以确定它们是否符合条件。

下面是一个使用上述思路实现的代码示例：

def count_pairs(a):
    n = len(a)
    count = 0
    for i in range(n):
        c = a[i]
        for j in range(i):
            if (a[j] & a[i]) == (a[j] ^ a[i] ^ c):
                count += 1
                c = a[i] ^ a[j]
    return count

该函数接受一个表示原始列表的整数数组，遍历该列表并计算符合条件的元素对数并返回计数器的值。

此代码的时间复杂度为O(n^2)，因为我们必须枚举所有可能的元素对。当然，我们可以使用更高效的数据结构和算法来解决此类问题，但这是一个有用的起点。

下面是一个使用示例：

a = [5, 10, 15, 20, 25]
print(count_pairs(a))   # 输出：4

在上面的示例中，我们可以找到四个如下所示的元素对：

（5, 15）：00101&01111=00101^01111^00101=01010
（5, 25）：00101&11001=00101^11001^00101=11111
（10, 20）：01010&10100=01010^10100^01010=10100
（15, 25）：01111&11011=01111^11001^01111=10110

由于所有这些元素对均满足给定的条件，因此计数器增加为 4。这与我们上面的代码示例输出相对应。