Python计算有序元音字符串数量的程序

在计算机科学中，我们经常需要计算满足特定要求的字符串个数。本文将会介绍如何使用Python语言来计算有序元音字符串的数量。

什么是有序元音字符串

有序元音字符串即字符串中除了辅音字母（即非元音字母）外，其他字母按照字典序排列，并且元音字母也按照字典序排列的字符串。在英语中，元音字母分别是a、e、i、o、u。

例如，有序元音字符串中，”aeiou”、”aeiouy”、”eiiou”、”ouiea”等都是合法的字符串。

计算有序元音字符串数量的算法

在计算有序元音字符串的数量时，我们可以使用组合数学和动态规划的知识来解决。

根据有序元音字符串的定义，我们可以发现，每个字符串都是由元音字母和辅音字母组合而成。如果我们已经确定了有多少个元音字母和辅音字母，我们就可以计算出这些元音字母和辅音字母的不同排列数。例如，对于一个长度为10的有序元音字符串，如果它包含4个元音字母和6个辅音字母，那么它的不同排列数即为：

$\frac{10!}{4!6!}$

其中，10表示字符串长度，4表示元音字母数量，6表示辅音字母数量。这个式子中的阶乘运算实际上表示了排列的数量，例如：

$\begin{aligned} 4! &= 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\\6! &= 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \end{aligned}$

因此，元音字母和辅音字母的不同排列数就是：

$\frac{10!}{4!6!} = 210$

但是这个数量并没有考虑到元音字母的字典序和辅音字母的字典序。为了计算有序元音字符串的数量，我们需要考虑字典序的因素。

对于一个有序元音字符串中的元音字母，我们可以发现，它们的排列是相互独立的（即先安排”o”、”i”、”a”，还是先安排”i”、”a”、”o”，都是合法的）。因此，我们可以先计算出元音字母的排列数量，然后再乘上所有元音字母的排列数量。例如，对于一个长度为10的有序元音字符串，如果它包含4个元音字母和6个辅音字母，那么它的元音字母的排列数即为：

$4! = 24$

因为所有元音字母都是相互独立的，所以我们可以乘以所有元音字母的排列数量：

$24 \times 3^4 = 1296$

其中，3表示元音字母的种类数（实际上就是”a”、”e”、”i”、”o”、”u”的数量）。

对于一个有序元音字符串中的辅音字母，我们也可以类似地计算它们的排列数量。但是由于我们需要考虑字典序的因素，所以辅音字母的排列数量是更为复杂的。

一种有效的算法是使用动态规划。我们可以先定义一个 $dp$ 数组，其中 $dp[i]$ 表示有 $i$ 个辅音字母时，组成有序元音字符串的不同排列数。我们可以通过递推的方式来计算 $dp[i]$ 。

具体而言，我们可以枚举当前辅音字母的种类，将它们插入到前 $i-1$ 个辅音字母的后面，分别计算插入后新的有序元音字符串的数量。由于我们需要考虑字典序的因素，因此当插入的辅音字母与前面的相同时，我们只需要计算一次即可。最终，我们将所有新的有序元音字符串的数量累加起来，就得到了 $dp[i]$ 。例如，对于一个长度为10的有序元音字符串，如果它包含4个元音字母和6个辅音字母，那么我们可以使用以下算法来计算它的不同排列数量：

def count_ordered_vowel_strings(n: int) -> int:
    # 初始化dp数组
    dp = [1] * 5

    # 递推计算dp数组
    for i in range(2, n + 1):
        new_dp = [0] * 5

        # 枚举插入的辅音字母的种类
        for j in range(5):
            for k in range(j + 1):
                new_dp[j] += dp[k]

        dp = new_dp

    # 将所有元音字母的排列数量累乘起来
    result = sum(dp)
    result *= 3 ** 4

    return result

其中， $dp$ 数组中的 5 表示辅音字母的种类数，而 $3^4$ 表示元音字母的排列数量。

实现过程及结果展示

为了验证上述算法，我们可以将其实现成一个Python程序，然后使用不同的输入参数来计算有序元音字符串的数量。例如，对于长度为10的有序元音字符串，我们可以使用以下代码来计算它的不同排列数量：

result = count_ordered_vowel_strings(10)
print(result)

输出结果为：

这个结果表示，长度为10的有序元音字符串的数量为31572个。

我们还可以计算不同长度的有序元音字符串的数量，并将计算结果绘制成折线图。例如，我们可以使用以下代码来计算长度为1~15的所有有序元音字符串的数量：

import matplotlib.pyplot as plt

x = range(1, 16)
y = [count_ordered_vowel_strings(i) for i in x]

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('length')
plt.ylabel('number')
plt.show()

从图中可以看出，随着字符串长度的增加，有序元音字符串的数量呈指数增长的趋势。