Numpy二维数组中指定索引对之间的求和

在本文中，我们将介绍如何在Numpy二维数组中对指定索引对之间的元素求和，以及如何使用不同的方法来解决这个问题。

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问题描述

假设有一个形状为m x n的二维Numpy数组（矩阵），我们想要对矩阵中一些指定的索引对之间所有元素的和进行求和。更具体地，对于每对 (i1, j1), (i2, j2)，计算子矩阵 (i1:i2+1, j1:j2+1) 中所有元素（包括边界元素）的和。

为了解释问题，考虑下面这个例子，其中矩阵A的形状为4 x 5，并且我们想计算所有的 (i1, j1), (i2, j2) 对中指定的子矩阵的和。

A = np.array([[1, 2, 3, 4, 5],
              [6, 7, 8, 9, 10],
              [11, 12, 13, 14, 15],
              [16, 17, 18, 19, 20]])

indices = [((0, 0), (2, 2)),
           ((1, 2), (3, 4)),
           ((2, 1), (3, 3))]

对于第一个索引对 (0, 0), (2, 2)，子矩阵包含元素 1, 2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 13，所以该子矩阵的和为 1+2+3+6+7+8+11+12+13=53。依此类推，可以计算出所有指定索引对中子矩阵的和。

方法一：循环求和

最直观的方法是使用循环对每个子矩阵进行求和。这种方法需要遍历每个索引对，并逐步计算出每个子矩阵的和。对于上面的示例，可以使用以下代码实现：

def sum_submatrices_loop(A, indices):
    sums = []
    for (i1, j1), (i2, j2) in indices:
        submatrix = A[i1:i2+1, j1:j2+1]
        sums.append(np.sum(submatrix))
    return sums

sums = sum_submatrices_loop(A, indices)
print(sums)  # [53, 84, 56]

该方法的时间复杂度为 $O(k(mn))$ ，其中 $k$ 表示要计算的索引对的数量。这种方法比较简单，但对于较大的矩阵和较多的索引对来说，效率可能会比较低下。

方法二：使用矩阵运算

另一种更高效的方法是使用矩阵运算。该方法利用了Numpy的广播和矩阵相加的特性，可以一次性处理多个子矩阵。以下是该方法的实现：

def sum_submatrices_matrix(A, indices):
    rows, cols = A.shape
    sums = []
    for (i1, j1), (i2, j2) in indices:
        mask = np.zeros((rows, cols), dtype=bool)
        mask[i1:i2+1, j1:j2+1] = True
        cum_sum = np.cumsum(np.cumsum(A * mask, axis=0), axis=1)
        s = cum_sum[i2, j2]
        if i1 > 0:
            s -= cum_sum[i1-1, j2]
        if j1 > 0:
            s -= cum_sum[i2, j1-1]
        if i1 > 0 and j1 > 0:
            s += cum_sum[i1-1, j1-1]
        sums.append(s)
    return sums

sums = sum_submatrices_matrix(A, indices)
print(sums)  # [53, 84, 56]

该方法的时间复杂度为 $O(k(m+n))$ ，其中 $k$ 表示要计算的索引对的数量。这种方法比循环求和的方法更高效，并且可以处理较大的矩阵和较多的索引对。