Numpy计算Python中的Dirichlet分布概率密度函数

在本文中，我们将介绍如何使用Python中的Numpy库来计算Dirichlet分布的概率密度函数（probability density function）。Dirichlet分布是一种常见的多元分布，常用于统计学、计算机科学以及机器学习领域。

阅读更多：Numpy 教程

Dirichlet分布概述

Dirichlet分布是一个多重连续概率分布，参数空间为K维单位超立方体。Dirichlet分布的每个样本都是K元组，并且每个元素都是0到1之间的实数。Dirichlet分布可以看作是K-1维的Beta分布的自然推广。

dirichlet分布的概率密度函数如下所示：

$f(\boldsymbol{\theta}|\alpha)=\frac{1}{\mathbf{B}(\boldsymbol{\alpha})}\prod_{i=1}^{k} \theta_{i}^{\alpha_{i}-1}$

其中， $\boldsymbol{\theta}$ 表示样本， $\alpha$ 表示Dirichlet分布的参数， $\mathbf{B}$ 表示Beta函数。

在Numpy中，我们可以使用numpy.random.dirichlet(alpha, size)函数生成Dirichlet分布的样本。

Numpy实现

首先，我们需要导入Numpy库：

import numpy as np

我们可以先定义Dirichlet分布的参数α值：

alpha = [1, 2, 3]

然后，我们可以使用Numpy中的numpy.random.dirichlet(alpha)函数来生成Dirichlet分布的样本：

samples = np.random.dirichlet(alpha, 10)

此处我们生成了10个Dirichlet分布的样本。

如果我们想对样本中的每一个元素计算其在Dirichlet分布中的概率密度函数值，我们可以使用以下代码：

pdfs = np.array([np.prod(x ** (alpha - 1) / np.prod(np.arange(1, len(alpha) + 1) ** (alpha - 1))) for x in samples])

此处我们使用了numpy.prod()计算列表元素的积，numpy.arange()生成一个固定步长的列表。在阶乘的分母中，我们需要将索引值加1。因为阶乘的定义为 $n!=n\times(n-1)\times…\times1$ 。

最后，我们就可以打印出每个样本的概率密度函数值：

print(pdfs)

示例

我们可以通过一个示例来演示如何使用Numpy计算Dirichlet分布的概率密度函数。

假设我们有一个三角形，其中的三个角随机选取。假定第一个角随机选取“内角小于90度”，第二个角随机选取“内角小于120度”，第三个角随机选取“内角小于150度”。现在我们想计算这个三角形在Dirichlet分布中的概率密度函数值。

此时，我们可以将α参数设置为选取每个角的样本个数，即α=[1,2,3]。然后我们可以使用Numpy的numpy.random.dirichlet(alpha)函数来生成三角形的样本。

import numpy as np

alpha = [1, 2, 3]
samples = np.random.dirichlet(alpha)
pdf = np.prod(samples ** (np.array(alpha) - 1)) / np.prod(np.arange(1, len(alpha) + 1) ** (np.array(alpha) - 1)) / np.math.gamma(np.sum(alpha))

print("Dirichlet distribution pdf of the triangle:\n",pdf)

我们可以多次运行这段代码，随机生成多个样本并计算其概率密度函数值。