Numpy 曲线的曲率

在计算机视觉和计算机图形学中，曲线是一个非常重要的概念。然而，对于许多数据处理任务而言，更重要的是曲线的曲率。在本文中，我们将介绍Numpy库中如何计算曲线的曲率，以及如何应用这些计算。

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什么是曲率?

曲率是曲线弯曲的度量。对于任何点上的曲线而言，曲率是沿曲线移动路径上的每一点局部曲线弯曲度的度量。在数学中，曲线的曲率是对相邻两个点之间的变化率进行的计算。当曲线的曲率为0时，表示曲线是直线。曲线越弯曲，其曲率就越大。

曲线局部弯曲时曲率较大。通过计算曲率，我们可以定量描述曲线是否弯曲以及弯曲的程度。在许多计算机图形学和计算机视觉上的应用中，曲率都扮演了重要的角色。

如何计算曲率

要计算曲线的曲率，首先需要将曲线表示为函数。一种常见的曲线表示方法是参数方程表示法。对于一个二维曲线而言，其可以表示为 $y=f(x)$ 的形式，其中 $x$ 和 $y$ 是曲线上的坐标。对于参数方程表示法，曲线可以表示为 $y=f(t)$ 和 $x=g(t)$ 两个函数。对于一个点所代表的弧长 $s$ ，其到曲线上的下一个点的距离为 $h$ ，则函数 $f$ 和 $g$ 的导数与曲率之间的关系可以表示为：

$\mathrm{curvature} = \left|\frac{f’g”-f”g’}{(f’^2+g’^2)^{3/2}}\right|$

对于多维曲线而言，曲率的计算可能会更加复杂。Numpy库中提供了一些方法辅助曲率计算，如numpy.gradient和numpy.cross等。

在下面的代码示例中，我们将使用Numpy库中的numpy.gradient方法计算曲线的一阶和二阶导数。采用一阶导数可以得到曲线的切向量，而二阶导数可以用来计算曲率。为了提高计算的精度，我们将在计算曲率时使用多个点。

import numpy as np

def curvature(s):
    # 计算曲线各点的切向量
    dp = np.gradient(s, axis=1)
    # 计算曲线各点的二阶导数
    d2p = np.gradient(dp, axis=1)
    # 计算曲率
    k = (d2p[0] * dp[1] - d2p[1] * dp[0]) / ((dp[0]**2 + dp[1]**2)**(3/2))
    return k

如何应用曲率

曲率在许多领域都有应用。在计算机图像处理中，曲率可以用于边缘检测和形状匹配。在计算机视觉中，曲率可以用于形状分析和目标跟踪。在机器人学中，曲率可以用于路径规划和运动控制。

在下面的代码示例中，我们将使用上述的曲率计算代码来分析一个手写数字图像的形状。我们首先读入图像，并将其转换为二维数组。然后，使用Scikit-Image库中的skeletonize方法将其转换为骨架二维数组。最后，将骨架数组的坐标传入曲率计算函数中，将计算出来的曲率值绘制成一个色彩映射图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage import io, morphology

# 读入图像并将其转换为二维数组
img = io.imread('digit.png', as_gray=True)
img = img < 0.5

# 将二维数组转换为骨架数组
skeleton = morphology.skeletonize(img)

# 提取骨架数组的坐标
coords = np.array(np.nonzero(skeleton)).T

# 计算坐标的曲率
k = curvature(coords)

# 绘制曲率的色彩映射图
plt.scatter(coords[:, 1], coords[:, 0], c=k)
plt.colorbar()
plt.gca().invert_yaxis()
plt.show()

我们可以看出手写数字的形状非常关键（数字1曲率变化幅度最大），而数字4的小角曲率值略大。