Numpy DFT矩阵

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什么是DFT矩阵？

离散傅里叶变换（DFT）是一种将一个离散信号的时间域表示（样本）转换为频域表示的技术。DFT的矩阵运算通过将一个N维实向量映射到另一个N维实向量来完成，其中时间向量被视为 $e^{(-2{\pi}i/N)}$ 的幂函数阵列。

DFT在频谱分析和信号处理领域中非常常用，它可以帮助我们理解和处理现实信号，在数字声音处理、数字图像处理、计算机通信和控制系统等领域都有广泛应用。

DFT矩阵通常被定义为一个NxN矩阵，对于复数 $x = [x_0, x_1, …, x_{n-1}]$ ，其 $DFT x$ 为：

$(DFT)_n^m = \frac{1}{\sqrt{N}} e^{-2\pi{i}nm/N}$

在这里，我们需要将DFT矩阵的Python实现基于numpy。

在numpy中实现DFT矩阵

通过numpy，我们可以非常容易地实现DFT矩阵的Python实现。具体来说，我们只需要使用numpy.exp函数计算我们的极角，并使用numpy.arange函数来计算我们的幅度。以下是numpy中DFT矩阵的Python实现：

import numpy as np

def dft_matrix(n):
    DFT = np.empty((n, n), dtype=np.complex128)
    w = np.exp(-2j * np.pi / n)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            DFT[i][j] = w ** (i * j)
    return DFT / np.sqrt(n)

DFT矩阵示例

假设我们有一个长度为N的序列，其中的值被视为我们的时间序列或样本点。我们可以使用上面的Python实现，将这个序列转换为频域中的FFT结果。

以下是一个长度为6，值为[1, 2, 3, 4, 5, 6]的序列的DFT转换结果：

>>> x = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
>>> dft = dft_matrix(len(x))
>>> np.dot(dft, x)
array([21.+0.00000000e+00j, -3. +8.66025404e+00j,
       -3. -1.22464680e-15j, -3.-8.66025404e+00j,
       -3.+1.22464680e-15j, -3.-8.66025404e+00j])

如您所见，我们得到了一个6阶的复数向量，这个向量的幅度表明了频率越高，该频率的贡献越小，而相位表明了信号在该频率上的相位情况。