用Python计算2D Laguerre系数

Laguerre系数是求解狄利克雷问题的重要工具，被广泛应用于电动力学、流体力学、声学等领域。在这里，我们将探讨如何用Python计算2D Laguerre系数。

Laguerre函数简介

Laguerre函数一般定义为：

$L_n^{\alpha}(x) = \frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x-\alpha})$

其中， $n$ 为阶数， $\alpha$ 为参数， $x$ 为自变量。

2D Laguerre函数的定义式为：

$L_{mn}^{\alpha,\beta}(x,y) = L_m^{\alpha}(x) L_n^{\beta}(y)$

其中， $m$ 和 $n$ 分别为横向和纵向的阶数， $\alpha$ 和 $\beta$ 分别为横向和纵向的参数， $x$ 和 $y$ 分别为横向和纵向的自变量。

对于Laguerre函数，存在如下三个性质：

正交性：对于任意两个不同的整数 $m$ 和 $p$ ，以及任意两个不同的整数 $n$ 和 $q$ ，成立如下的正交关系式：

$\iint_{\mathbb{R}^2} L_{mn}^{\alpha,\beta}(x,y) L_{pq}^{\alpha,\beta}(x,y) x^{\alpha} y^{\beta} e^{-x-y} dx dy = \delta_{mp} \delta_{nq} k_{mn}^{\alpha,\beta}$

其中 $k_{mn}^{\alpha,\beta}$ 为Laguerre多项式，

$k_{mn}^{\alpha,\beta} = \frac{\Gamma(m+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{m!n!\Gamma(m+\alpha+\beta+2)}$

归一化：对于所有的 $m$ 和 $n$ ，以及任意正数 $sl$ 和 $t$ ，成立如下的归一化关系式：

$\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty} |L_{mn}^{\alpha,\beta}(x,y)|^2 x^{\alpha}s^{\alpha+1}e^{-xs} y^{\beta}t^{\beta+1}e^{-yt} dx dy = 1$

递推关系：对于所有满足 $n \geq m + 1$ 的 $m$ 和 $n$ ，以及任意的 $x$ 和 $y$ ，成立如下的递推关系式：

$L_{n+1,m}^{\alpha,\beta}(x,y) = \frac{(n+\alpha+1-x)L_{n,m}^{\alpha,\beta}(x,y) – n L_{n-1,m}^{\alpha,\beta}(x,y)}{y+\beta+m+1}$

$L_{n,m+1}^{\alpha,\beta}(x,y) = \frac{(m+\beta+1-y)L_{n,m}^{\alpha,\beta}(x,y) – m L_{n,m-1}^{\alpha,\beta}(x,y)}{x+\alpha+n+1}$

计算代码实现

我们可以使用sympy库中的函数sympy.integrate来进行积分计算，使用sympy.Symbol来定义变量。

首先我们需要引入sympy库：

import sympy as sp

计算正交性常数

我们先来计算正交性常数 $k_{mn}^{\alpha,\beta}$ 。根据公式我们可以得到：

def kmn(m, n, alpha, beta):
    return sp.gamma(m + alpha + 1) * sp.gamma(n + beta + 1) / \
           (sp.factorial(m) * sp.factorial(n) * sp.gamma(m + alpha + beta + 2))

计算二维Laguerre函数

接下来，我们可以实现二维Laguerre函数的计算。根据公式，我们可以得到：

def Lmn(x, y, m, n, alpha, beta):
    Lx = sp.assoc_laguerre(m, alpha, x)
    Ly = sp.assoc_laguerre(n, beta, y)
    k_mn = kmn(m, n, alpha, beta)
    return Lx * Ly * k_mn

其中assoc_laguerre函数是sympy库中的函数，用于计算Laguerre多项式。

计算归一化常数

接下来，我们可以用sympy库中的函数sympy.integrate计算归一化常数。根据公式，我们可以得到：

s = sp.Symbol('s', positive=True)
t = sp.Symbol('t', positive=True)

def norm(m, n, alpha, beta):
    return sp.integrate(sp.integrate(Lmn(x, y, m, n, alpha, beta).conjugate() 
                                      * x**alpha * s**(alpha + 1) * sp.exp(-x * s) 
                                      * y**beta * t**(beta + 1) * sp.exp(-y * t), 
                                      (x, 0, sp.oo)), (y, 0, sp.oo))

其中，定义了变量 $s$ 和 $t$ ，并重复积分计算。

计算递推式

最后，我们可以计算递推式。根据公式，我们可以得到：

def Lnm1(m, n, x, y, alpha, beta):
    return ((n + alpha + 1 - x) * Lmn(x, y, m, n, alpha, beta) -
            n * Lmn(x, y, m, n - 1, alpha, beta)) / (y + beta + m + 1)

def Lmn1(m, n, x, y, alpha, beta):
    return ((m + beta + 1 - y) * Lmn(x, y, m, n, alpha, beta) -
            m * Lmn(x, y, m - 1, n, alpha, beta)) / (x + alpha + n + 1)

完整代码

下面是完整的计算2D Laguerre系数的代码：

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x', positive=True)
y = sp.Symbol('y', positive=True)
s = sp.Symbol('s', positive=True)
t = sp.Symbol('t', positive=True)

def kmn(m, n, alpha, beta):
    return sp.gamma(m + alpha + 1) * sp.gamma(n + beta + 1) / \
           (sp.factorial(m) * sp.factorial(n) * sp.gamma(m + alpha + beta + 2))

def Lmn(x, y, m, n, alpha, beta):
    Lx = sp.assoc_laguerre(m, alpha, x)
    Ly = sp.assoc_laguerre(n, beta, y)
    k_mn = kmn(m, n, alpha, beta)
    return Lx * Ly * k_mn

def norm(m, n, alpha, beta):
    return sp.integrate(sp.integrate(Lmn(x, y, m, n, alpha, beta).conjugate() 
                                      * x**alpha * s**(alpha + 1) * sp.exp(-x * s) 
                                      * y**beta * t**(beta + 1) * sp.exp(-y * t), 
                                      (x, 0, sp.oo)), (y, 0, sp.oo))

def Lnm1(m, n, x, y, alpha, beta):
    return ((n + alpha + 1 - x) * Lmn(x, y, m, n, alpha, beta) -
            n * Lmn(x, y, m, n - 1, alpha, beta)) / (y + beta + m + 1)

def Lmn1(m, n, x, y, alpha, beta):
    return ((m + beta + 1 - y) * Lmn(x, y, m, n, alpha, beta) -
            m * Lmn(x, y, m - 1, n, alpha, beta)) / (x + alpha + n + 1)