MATLAB 傅里叶变换中的卷积定理

根据 傅里叶变换的卷积定理 ，两个信号在时域中的卷积等价于在频域中的乘法。因此，如果两个信号在时域中进行卷积，它们在频域中进行傅里叶变换后的乘积结果将相同。

例如，如果x(t)和h(t)是两个时域信号，并且它们的傅里叶变换分别为X(ω)和H(ω)。那么，它们在时域中的卷积可以表示为：

f(t) = x(t) * h(t)

这里，符号’*’表示两个信号的卷积。

并且，在频域中它们的傅里叶变换的乘积为，

F(ω) = X(ω).H(ω)

根据卷积定理，函数f(t)和F(ω)通过傅里叶变换及其反变换相关联，如下所示。

F(ω) = fft(x(t) * h(t))

和

f(t) = ifft(X(ω).H(ω))

在这里，’fft’是一个用于对输入信号进行傅立叶变换的MATLAB函数，’ifft’是另一个用于执行傅立叶逆变换的MATLAB函数。

总体而言，傅立叶变换的卷积定理允许我们在频域中执行输入信号的卷积运算，这其实就是简单的乘法。

现在，让我们考虑一些MATLAB程序，通过使用傅立叶变换的卷积定理来在时域和频域中执行卷积运算。

示例

% MATLAB program to demonstrate the use of Convolution Theorem of Fourier Transform
% Define two input signals
x = [2 4 6 8];
y = [0.4 0.4 0.4 0.4];
% Calculate the lengths of the input signals
L1 = length(x);
L2 = length(y);
% Calculate the length of the convolution result
L = L1 + L2 - 1;
% Perform zero-padding of the input signals to the length of the convolution result
a = [x zeros(1, L-L1)];
b = [y zeros(1, L-L2)];
% Perform the Fourier Transform of the padded signals a and b
X = fft(a);
Y = fft(b);
% Perform the convolution in the time domain
CT = conv(x, y);
% Perform the convolution in the frequency domain using the Convolution Theorem
CF = ifft(X .* Y);
% Display the results
disp('Convolution of x and y in the time domain is:');
disp(CT);
disp('Convolution of x and y in the frequency domain using the Convolution Theorem is:');
disp(CF);

输出

Convolution of x and y in the time domain is:
    0.8000    2.4000    4.8000    8.0000    7.2000    5.6000    3.2000

Convolution of x and y in the frequency domain using the Convolution Theorem is:
    0.8000    2.4000    4.8000    8.0000    7.2000    5.6000    3.2000

说明

在这个MATLAB程序中，我们定义了两个存储在变量‘x’和‘y’中的输入信号。然后，我们计算输入信号和卷积结果的长度，并将它们存储在变量‘L1’、‘L2’和‘L’中。接下来，我们对信号‘x’和‘y’进行零填充，以使其长度与卷积结果相匹配，并将零填充后的信号存储在变量‘a’和‘b’中。

然后，我们使用‘fft’函数获得零填充信号‘a’和‘b’的傅里叶变换。接下来，我们使用‘conv’函数在时域中对信号‘x’和‘y’进行卷积，并将结果存储在变量‘CT’中。

然后，我们在频域中对‘X’和‘Y’进行乘法运算，并使用‘ifft’函数计算乘积的反傅里叶变换以获得卷积结果。

最后，我们使用‘disp’函数显示结果。从输出中，我们可以观察到在时域中获得的结果，即‘CT’和使用卷积定理得到的频域‘CF’是相同的。

示例

% MATLAB program to perform convolution in the spatial domain
% Read the input image
img = imread('https://www.tutorialspoint.com/assets/questions/media/14304-1687425236.jpg');
% Convert the image to grayscale if necessary
if size(img, 3) == 3
    img = rgb2gray(img);
end
% Define averaging filter
filter = ones(10) / 50;
% Perform convolution in the spatial domain
C = conv2(double(img), filter, 'same');
% Display the original and filtered images
subplot(1, 2, 1); imshow(img); title('Original Image');
subplot(1, 2, 2); imshow(C, []); title('Convolved Image');

输出

MATLAB 傅里叶变换中的卷积定理

解释

在这个MATLAB程序中，我们使用’imread’函数读取输入图像，并将其存储在变量’img’中。接下来，我们检查输入图像是否为灰度图像。如果不是，则使用’rgb2gray’函数将其转换为灰度图像。然后，我们将平均滤波器定义为一个10×10矩阵，其中所有元素都设置为1/50，它表示一个简单的均值滤波器。

然后，我们使用’conv2’函数对图像进行空间域卷积。在这里，我们还使用’double()’函数将图像转换为双精度以进行浮点数计算。

最后，我们使用’imshow’函数显示原始图像和卷积后的图像。这里，'[]’用于自动缩放卷积后的图像值。

示例

% MATLAB program to perform convolution in frequency domain
% Read the input image
I = imread('https://www.tutorialspoint.com/assets/questions/media/14304-1687425236.jpg');
% Convert the colored image to grayscale if necessary
if size(I, 3) == 3
    I = rgb2gray(I);
end
% Define averaging filter
filter = ones(10) / 50;
% Calculate the Fourier Transform of the image and the filter
Img_FT = fftshift(fft2(I));
Flt_FT= fftshift(fft2(filter, size(I, 1), size(I, 2)));
% Perform convolution in the frequency domain
C = ifft2(ifftshift(Img_FT .* Flt_FT));
% Display the Fourier Transforms of the image, filter, original image, and convolved image
FT_Image = abs(log(Img_FT));
FT_Filter = abs(log(Flt_FT));
subplot(1, 4, 1), imshow(FT_Image, []); title('FT Image');
subplot(1, 4, 2), imshow(FT_Filter, []); title('FT Filter');
subplot(1, 4, 3), imshow(I, []); title('Original Image');
subplot(1, 4, 4), imshow(C, []); title('Convolved Image');