极客笔记MATLAB 如何计算协方差
在本文中，我们将探讨如何使用MATLAB编程计算协方差。但在此之前，让我们先了解一下协方差的基本理论和重要性。
什么是协方差
协方差 是一种用于描述两个或多个随机变量之间相关性的统计工具。换句话说，协方差是一种提供有关两个或多个变量之间关系的信息的度量。
协方差主要用于量化一个变量随另一个变量的变化而发生的变化。
随机变量’A’和’B’之间的协方差被规定为cov(A, B)，并且可以计算如下：
\mathrm{cov(A,B):=:\frac{1}{k}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^k (a_i−E(A))(b_i−E(B))}
其中，E(A)和E(B)分别是随机变量A和B的期望值或均值。
协方差的值可以是正数、负数或零，它们表示随机变量之间不同类型的相关性或关系。
根据协方差的值，以下几点提供了关于随机变量之间关系性质的信息：
- 正协方差 - 随机变量之间的正协方差值指明当一个变量增加时，另一个变量也趋向于增加。因此，变量之间的正协方差给出了它们之间的正线性关系。
-
负协方差 - 负协方差的值指示当一个变量增加时，第二个变量趋向于减少。因此，负协方差代表了变量之间的负线性关系。
-
零协方差 - 当两个随机变量之间的协方差为零时，表示它们之间没有线性关系。但这并不意味着它们之间没有任何关系。它们可能有一个非线性关系。
协方差广泛应用于统计学、数据分析和金融领域，因为它有助于分析和理解不同随机变量之间的关系，量化它们的依赖性，估算风险和分散度等。协方差还用于机器学习领域的数据建模和分析。
了解了协方差的简要概述后，我们现在讨论它在MATLAB编程中的实现。MATLAB提供了一个内置函数’cov()’，用于计算随机变量之间的协方差。
以下部分描述了MATLAB中’cov()’函数的不同语法及其在MATLAB编程中计算协方差的应用。
计算数组的协方差
以下语法用于计算数组的协方差并获得协方差矩阵：
C = cov(X);
这种语法的实现在以下程序中展示。
示例
% MATLAB code to calculate covariance of an array
% Define an array
X = [2 4 6; 8 10 12; 14 16 18];
% Calculate covariance of the array
C = cov(X);
% Display the covariance result
disp('The covariance of the array X is:');
disp(C);
输出
The covariance of the array X is:
36 36 36
36 36 36
36 36 36
代码解释
在这个MATLAB程序中，首先我们定义一个数组‘X’。然后，我们使用‘cov’函数来计算其协方差，并将结果存储在变量‘C’中。最后，我们使用‘disp’函数显示结果。
计算两个数组的协方差
要计算两个数组的协方差，我们使用‘cov’函数的以下语法：
C = cov(X, Y);
让我们在MATLAB编程中理解这个语法的实现。
示例
% MATLAB code to calculate covariance of two arrays
% Define two input arrays
X = [2 4 6; -3 5 7];
Y = [8 10 12; 2 -7 6];
% Calculate covariance of arrays
C = cov(X, Y);
% Display the covariance result
disp('The covariance of the arrays X and Y is:');
disp(C);
输出
The covariance of the arrays X and Y is:
15.0000 42.5000 15.0000
-3.0000 -8.5000 -3.0000
-3.0000 -8.5000 -3.0000
计算数组的归一化协方差
以下是使用“cov”函数计算数组的归一化协方差的语法，通过加权”W”对其进行归一化：
C = cov(X, W);
如果W = 1，协方差矩阵将通过“输入数组中的行数”进行归一化，如果W = 0，则通过“输入数组中的行数减1”进行归一化。
以下MATLAB程序演示了此语法的实施。
示例
% MATLAB code to calculate covariance of an array with normalization
% Define the input array
X = [2 4 6; 3 5 7; 9 8 5];
% Calculate covariance of array with normalization by W = 1
C1 = cov(X, 1);
% Calculate covariance of array with normalization by W = 0
C2 = cov(X, 0);
% Display the covariance result
disp('The covariance of the array X with W = 1 is:');
disp(C1);
disp('The covariance of the array X with W = 0 is:');
disp(C2);
输出
The covariance of the array X with W = 1 is:
9.5556 5.2222 -2.0000
5.2222 2.8889 -1.0000
-2.0000 -1.0000 0.6667
The covariance of the array X with W = 0 is:
14.3333 7.8333 -3.0000
7.8333 4.3333 -1.5000
-3.0000 -1.5000 1.0000
代码解释
在这段MATLAB代码中，我们首先定义了一个数组‘X’。然后，我们通过将‘W = 1’和‘W = 0’ 进行归一化，计算了‘X’的协方差，并分别将结果存储在‘C1’和‘C2’中。最后，我们使用‘disp’函数来显示协方差矩阵。
计算包含NaN值的数组的协方差
当给定的数组包含NaN值时，我们使用以下的‘cov’函数语法来计算数组的协方差：
C = cov(X, nanflag);
在这里，’nanflag’选项指定了在协方差计算中如何处理数组的NaN值。
如果nanflag = ‘includenan’，那么’cov’函数会考虑到计算中数组的NaN值。
如果nanflag = ‘omitrows’，’cov’函数会在计算中省略NaN值。
以下MATLAB程序演示了使用’cov’函数和’nanflag’选项的用法。
示例
% MATLAB code to calculate covariance of an array with nanflag option
% Define the input array with NaN values
X = [2 4 5; 3 5 7; NaN 7 NaN];
% Calculate covariance of array with includenan flag
C1 = cov(X, 'includenan');
% Calculate covariance of array with omitrows flag
C2 = cov(X, 'omitrows');
% Display the covariance results
disp('The covariance of the array with includenan is:');
disp(C1);
disp('The covariance of the array with omitrows is:');
disp(C2);
输出结果
The covariance of the array with includenan is:
NaN NaN NaN
NaN 2.3333 NaN
NaN NaN NaN
The covariance of the array with omitrows is:
0.5000 0.5000 1.0000
0.5000 0.5000 1.0000
1.0000 1.0000 2.0000
代码解释
在这个MATLAB程序中，我们首先定义了一个具有NaN值的数组 ‘X’。然后，我们计算包括NaN值和省略NaN值的 ‘X’ 的协方差，并分别将结果存储在 ‘C1’ 和 ‘C2’ 中。最后，我们使用 ‘disp’ 函数显示协方差矩阵。