理解回归的几何解释

回归分析是一种最常用的用于研究两个或多个变量之间关系的统计方法。它是一种有效的工具，可用于预测和模拟变量的行为，并在经济学、金融学、工程学和社会科学等多个学科中得到应用。回归分析的几何解释是它最关键的组成部分之一，可以揭示变量之间的联系特性。在本文中，我们将探讨回归的几何解释以及如何应用它来理解变量之间的关系。

回归分析是什么

回归分析是一种统计方法，用于建模一组独立变量（也称为预测变量或解释因素）与一组因变量（有时称为响应变量或结果变量）之间的关系。在回归分析中，寻找最准确地描述变量之间关系的曲线或直线。根据独立变量的值，可以使用这条曲线或直线来预测因变量的值。

回归分析可分为两个基本类别：简单线性回归和多元线性回归。基本线性回归中只有一个自变量，而多元线性回归中有两个或更多自变量。因变量始终连续，意味着它可以在一定范围内具有任何值。

回归的几何解释

回归的几何解释可通过几何方式展示变量之间的二维关系。简单线性回归中可以使用一条直线来描绘自变量x和因变量y之间的关系。这条回归线或最佳拟合线就是这条线。当以这种方式创建回归线时，将最小化每个数据点与回归线之间的残差或间隔。

根据回归线的斜率，自变量的每个单位变化将导致因变量（y）（x）的等量变化。如果斜率向上倾斜，随着自变量值的增加，因变量也上升。如果斜率为负数，那么当自变量增加时，因变量下降。下面的公式可用于计算斜率 –

$\mathrm{斜率 = (Σ(xy) – n(x)(y)) / (Σ(x^2) – n(x)^2)}$
其中n代表数据点的总数，(xy)是变量x和y的乘积，(x^2)是x的平方值之和，(x)(y)是x和y各自值的和。

回归线的截距显示当自变量等于零时因变量的值。您可以使用以下公式计算截距 –

$\mathrm{截距 = y – 斜率(x)}$
其中x和y分别代表独立和因变量的平均值。

在多元线性回归中，可以使用三维空间中的平面来描绘因变量与两个或更多自变量之间的关系。根据回归平面的斜率，每个自变量的单位变化将导致因变量的变化量。在所有自变量都等于零时，回归平面的截距表示因变量的值。

残差图

残差图是检查回归分析的假设和发现潜在模型缺陷的有用工具。残差（实际值与预期值之间的差异）在残差图中与自变量相对应。如果回归模型与数据相匹配良好，残差图应该没有任何模式，点应随机分布在水平轴周围。如果残差图显示出模式，可能表明变量之间的关系不是线性的，依赖变量的方差是异方差的，即随着自变量的变化而变化，或者存在离群值或其他影响模型的显著点。

决定系数（R方）

决定系数，通常称为R方，是衡量回归模型与数据拟合程度的指标。它表示因变量中由自变量（们）解释的变异部分的比例。R方的值范围从0到1，1表示完全拟合，0表示变量之间没有关联。可以使用以下公式计算R方 –

$\mathrm{R方 = 1 – (SSres / SStot)}$
其中，SSres表示残差平方和，SStot表示总离差平方和。高R方值表示模型解释了因变量中大部分的方差，而低R方值表示模型未能解释因变量中的显著比例。

回归几何解释的应用

回归的几何解释具有广泛的应用。在经济学中，回归分析经常用于建模两个或多个经济变量之间的关系，如供求关系或GDP通胀关系。在金融领域，回归分析用于研究资产价格与利率或收益等其他经济因素之间的关联。在工程领域，回归分析用于描述系统或过程中输入和输出变量之间的关系。在社会科学中，回归分析用于研究多个社会经济和人口特征与收入、教育、健康等结果之间的关系。