Python Golomb编码为b=2的n次方和b!=2的n次方

Golomb编码是一种用于编码特定分布的非负整数的数据压缩技术。它是由Solomon W. Golomb于1966年引入的，并广泛应用于各种应用领域，包括视频和图像压缩、信息检索和数据存储。在本文中，我们将探讨Golomb编码并理解两种情况，即基数为2的n次方(b=2的n次方)和基数不是2的n次方(b≠2的n次方)。

对于b=2的n次方进行Golomb编码（基数为2的幂）

当基数是2的幂时，Golomb编码变得相对简单。让我们以b = 4 (2的2次方)作为一个例子。

查找给定基数情况下的Golomb编码的步骤。

确定商和余数

要对一个数字(n)进行编码，我们首先将其除以b，得到商(q)和余数(r)。在我们的例子中，假设n = 12。

n = 12

b = 4

q = n // b # quotient
r = n % b # remainder

所以，在我们的例子中：

• q = 12 // 4 = 3

• r = 12 % 4 = 0

编码商数

商数（q）使用一元编码进行编码，意味着它由q个连续的1后跟一个0表示。在我们的例子中，q = 3，所以q的一元编码是 “1110”（三个1后跟一个0）。

编码余数

余数（r）使用二进制编码进行编码。由于b = 4，我们需要使用2位来编码r。在我们的例子中，r = 0，可以用二进制表示为 “00”。 n = 12和b = 4的最终Golomb编码是商数的一元编码和余数的二进制编码的拼接。因此，n = 12的Golomb编码是 “111000”。 **

当b≠2^n时（基数不是2的幂）的Golomb编码

当基数不是2的幂时，编码过程变得稍微复杂一些。让我们以b = 7为例。

基数不是2的幂时的Golomb编码步骤。

确定商数和余数

与前一种情况类似，我们将n除以b以获得商数（q）和余数（r）。假设n = 23。

n = 23

b = 7

q = n // b # quotient
r = n % b # remainder

在我们的例子中：

• q = 23 // 7 = 3

• r = 23 % 7 = 2

编码商

商（q）使用一元编码进行编码，与之前的情况类似。因此，q = 3 将以一元编码方式表示为 “1110” 。

编码余数

余数（r）使用Rice编码或二进制编码进行编码。Rice编码将r分为前缀和后缀两部分。

前缀计算

前缀的计算通过计算k来确定，k是满足2^k ≥ b的最小整数。在我们的例子中，b = 7，所以k = 3。我们计算范围（R）为 R = 2^k − b。在这种情况下，R = 2^3 − 7 = 1。如果 r < R，则使用k−1位的二进制编码对r进行编码。否则，使用k位的二进制编码对r+R进行编码。在我们的例子中，r = 2，R = 1。因为 r < R，所以我们使用k−1 = 2位的二进制编码对r = 2进行编码。因此，r = 2 在二进制中表示为 “10”。n = 23 且 b = 7 的最终Golomb编码是q的一元编码与编码后的余数r的串联。因此，n = 23 的Golomb编码是 “111010”。

Golomb编码实现

我们可以使用Python实现Golomb编码的逻辑，创建一元编码和二进制编码的函数。Golomb编码的代码实现如下所示。

示例

在下面的例子中，unary_encoding函数对给定的商（q）进行一元编码。它创建一个由q个连续的“1”和一个“0”组成的字符串来表示商的一元编码。binary_encoding函数对给定的余数（r）和前缀长度（k）进行二进制编码。如果 r 小于 2^k 减去 r 的差，则使用 k−1 位的二进制编码对 r 进行编码。否则，使用 k 位的二进制编码对 r+2^k−r 进行编码。golomb_encoding函数对给定的数字（n）和基数（b）进行Golomb编码。它通过执行整数除法和模运算来计算商（q）和余数（r）。下面的例子涵盖的情况有：

• 如果基数（b）是2的幂（使用 b & (b − 1) 0 进行检查），则直接将余数（r）转换为二进制，并用零填充以匹配基数 b 的二进制表示的长度。

• 如果基数（b）不是2的幂，则通过从基数 b 的二进制表示的长度中减去3来计算前缀长度（k）。然后调用binary_encoding函数以使用前缀长度（k）对余数（r）进行编码。

编码后的Golomb数是通过串联一元编码的商（q）和二进制编码的余数（r）来获得的。

def unary_encoding(q):
    """
    Perform unary encoding for the given quotient (q).
    """
    encoded = "1" * q + "0"
    return encoded


def binary_encoding(r, k):
    """
    Perform binary encoding for the given remainder (r) and prefix length (k).
    """
    if r < 2 ** k - r:
        encoded = bin(r)[2:].zfill(k - 1)
    else:
        encoded = bin(r + 2 ** k - r)[2:].zfill(k)
    return encoded


def golomb_encoding(n, b):
    """
    Perform Golomb encoding for the given number (n) and base (b).
    """
    q = n // b  # quotient
    r = n % b   # remainder

    unary_encoded = unary_encoding(q)
    if b & (b - 1) == 0:  # Check if b is a power of 2
        binary_encoded = bin(r)[2:].zfill(len(bin(b)) - 2)
    else:
        k = len(bin(b)) - 3  # Prefix length
        binary_encoded = binary_encoding(r, k)

    encoded = unary_encoded + binary_encoded
    return encoded


# Example usage
number = 23
base = 7

encoded_number = golomb_encoding(number, base)
print("Golomb Encoding for number", number, "with base", base, ":", encoded_number)

输出

Golomb Encoding for number 23 with base 7 : 1110100

结论

在本文中，我们讨论了Golumb编码以及与之相关的两种情况，即b=2^n和b≠2^n。Golomb编码是一种有用的数据压缩技术，特别适用于具有特定模式的非负整数分布。了解Golomb编码在处理压缩算法、信息检索系统和其他数据密集型应用时是很有价值的。