Python 使用NumPy生成具有给定复数根的Chebyshev系列

Chebyshev系列是指Chebyshev多项式的一系列多项式。 Chebyshev多项式是在特定区间内定义的多项式，具有正交性质。它具有权重函数 $\mathrm{(1-x^{2})^{(-½)}}$ 。这个多项式以俄罗斯数学家Pafnuty Chebyshev命名。

正交性是定义两个多项式之间特定类型关系的一种方式。如果两个函数在某个区间上的积分为0，可以认为它们是正交的。

Chebyshev多项式定义为 $\mathrm{T_{n}(x)}$ 。它们被递归地定义如下：

$\mathrm{T_{0}(x)=1}$

$\mathrm{T_{1}(x)=x}$

$\mathrm{T_{2}(x)=2x*T_{(n-1)}(x)-T_{(n-2)}(x)}$
这表明Chebyshev系列中的第n个多项式可以通过前面两个多项式值(n-1)和(n-2)来计算。利用这个关系，我们可以递归地计算任意阶数的Chebyshev系列。

每个多项式都有一个度数’n’，这为这些多项式在不同领域的工程中提供了有用的性质。

生成Python中Chebyshev系列所需的库是numpy和Scipy。

pip install numpy
pip install scipy

使用NumPy，我们可以创建数组，找到余弦值，并生成π的值，这些都将用于生成切比雪夫系数。

步骤

导入必要的库。
定义一个函数来打印您偏爱的切比雪夫级数的数字。
从区间[-1,1]创建节点数组。
将节点转换为它们各自的间隔。
计算将节点的指数值乘以一个复数(eix)。
使用逆离散余弦变换(IDCT)计算系数。
定义两个间隔和项数。
调用函数并打印系数。

示例

import numpy as np
from scipy.fftpack import idct

def chebyshev_series_complex(f, a, b, num_terms):
   # Create an array of Chebyshev nodes in the interval [-1, 1]
   nodes = np.cos(np.pi * (2 * np.arange(num_terms) + 1) / (2 * num_terms))

   # Transform the nodes to the desired interval [a, b]
   transformed_nodes = (b - a) / 2 * nodes + (a + b) / 2

   # Compute the function values at the transformed nodes
   function_values = f(transformed_nodes)

   # Compute the Chebyshev coefficients using the inverse discrete cosine transform (IDCT)
   chebyshev_coeffs = idct(function_values, type=1) / (num_terms - 1)

   return chebyshev_coeffs

# Example usage:
def complex_function(x):
   return np.exp(1j * x)  # e^(ix)

a = 0.0  # Lower bound of the interval
b = 2 * np.pi  # Upper bound of the interval
num_terms = 10  # Number of terms in the series

coefficients = chebyshev_series_complex(complex_function, a, b, num_terms)
print(coefficients)

输出

[ 4.54037708e-01-2.22044605e-16j  1.36850408e-17-6.76050971e-01j
  9.89722821e-01+2.57510063e-16j -4.31753398e-17+6.38292206e-01j
 -2.26373147e-01-7.70988212e-17j  1.48029737e-16-3.09382988e-02j
  1.00382982e-02+9.86864911e-17j -9.86864911e-17+2.14956728e-02j
 -1.15473450e-03-9.86864911e-17j  9.86864911e-17+1.70656312e-02j]

我们首先通过求解下面的方程来创建一个切比雪夫节点数组：

$(2_(num_term+1))/(2_num_term)$

然后我们将这些节点转换成用户给定的区间[a,b]，通过找到区间之间的差异并将其减半，再乘以节点值：(b-a)/2*nodes。我们将它们加到区间减半的总和(a+b)/2上。整个方程如下：

$(b-a)/2*nodes+(a+b)/2$
在用户定义的函数中，f被用作一个占位函数，你可以根据你的偏好自定义多项式方程。在这里，我们已经计算出之前找到的变换节点eix的复指数值。你可以添加任何多项式函数。

计算函数值后，我们使用SciPy库中的逆离散余弦变换(IDCT)来创建我们的切比雪夫系数。

接下来，我们定义我们区间的下界和上界，以及我们需要打印的切比雪夫系数的数量。