极客笔记Python 展示统计学中的68-95-99.7法则
统计学为我们提供了强大的工具来分析和理解数据。其中一个统计学的基本概念是68-95-99.7法则，也被称为经验法则或三西格玛法则。该法则允许我们根据数据的标准差对数据分布进行重要推断。在本博文中，我们将探讨68-95-99.7法则，并演示如何使用Python应用它。
68-95-99.7法则概述
68-95-99.7法则提供了一种估计在正态分布中落在某个标准偏差范围内的数据百分比的方法。根据该法则，-
- 大约68%的数据落在均值的一个标准偏差范围内。
-
大约95%的数据落在均值的两个标准偏差范围内。
-
大约99.7%的数据落在均值的三个标准偏差范围内。
这些百分比适用于遵循正态分布，也被称为钟形曲线的数据集。理解这个法则使我们能够快速评估数据的分布范围，并识别异常值或不寻常的观测结果。
在Python中实现68-95-99.7法则
为了演示68-95-99.7法则的运作，我们将使用Python及其流行的数据分析库NumPy。NumPy提供高效的数值运算和统计函数，帮助我们计算必要的数值。让我们首先导入所需的库-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
接下来，我们将使用numpy.random.normal()函数生成一个符合正态分布的随机数据集。我们将使用均值0和标准差1。
np.random.seed(42) # Set the random seed for reproducibility
data = np.random.normal(0, 1, 10000)
现在，我们可以计算数据集的平均值和标准差
mean = np.mean(data)
std = np.std(data)
为了可视化数据和68-95-99.7法则涵盖的区域，我们可以使用matplotlib.pyplot.hist()函数创建柱状图。 −
plt.hist(data, bins=30, density=True, alpha=0.7)
# Plot the mean and standard deviations
plt.axvline(mean, color='r', linestyle='dashed', linewidth=1, label='Mean')
plt.axvline(mean - std, color='g', linestyle='dashed', linewidth=1, label='1 STD')
plt.axvline(mean + std, color='g', linestyle='dashed', linewidth=1)
plt.axvline(mean - 2*std, color='b', linestyle='dashed', linewidth=1, label='2 STD')
plt.axvline(mean + 2*std, color='b', linestyle='dashed', linewidth=1)
plt.axvline(mean - 3*std, color='m', linestyle='dashed', linewidth=1, label='3 STD')
plt.axvline(mean + 3*std, color='m', linestyle='dashed', linewidth=1)
plt.legend()
plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Density')
plt.title('Histogram of the Dataset')
plt.show()
生成的直方图将显示数据的分布情况，并以虚线标记平均值和标准差。
为了计算每个范围所覆盖的百分比，我们可以使用正态分布的累积分布函数（CDF）。NumPy函数numpy.random.normal()生成来自正态分布的数据，但NumPy还提供了计算CDF的numpy.random.normal()函数。
# Calculate the percentage within one standard deviation
pct_within_1_std = np.sum(np.logical_and(data >= mean - std, data 7lt;= mean + std)) / len(data)
# Calculate the percentage within two standard deviations
pct_within_2_std = np.sum(np.logical_and(data >= mean - 2*std, data <= mean + 2*std)) / len(data)
# Calculate the percentage within three standard deviations
pct_within_3_std = np.sum(np.logical_and(data >= mean - 3*std, data <= mean + 3*std)) / len(data)
print("Percentage within one standard deviation: {:.2%}".format(pct_within_1_std))
print("Percentage within two standard deviations: {:.2%}".format(pct_within_2_std))
print("Percentage within three standard deviations: {:.2%}".format(pct_within_3_std))
运行此代码时，您将看到数据在平均值附近的一、两、和三个标准差内所占的百分比。
Percentage within one standard deviation: 68.27%
Percentage within two standard deviations: 95.61%
Percentage within three standard deviations: 99.70%
这些结果与68-95-99.7规则的预期百分比非常吻合。
68-95-99.7规则的解释
每个范围所涵盖的百分比具有特定的解释。落在平均值的标准差范围内的数据相对常见，而距离平均值三个标准差以上的数据被认为是罕见的。了解这些解释有助于对数据进行有意义的推断。
68-95-99.7规则的局限性
虽然68-95-99.7规则是一个有价值的指导原则，但它可能不适用于偏离正态分布的数据集。当处理这类数据集时，必须考虑其他统计技术并进行进一步的分析。
异常值和68-95-99.7规则
异常值可以对每个范围所涵盖的百分比的准确性产生重大影响。这些极值可以使分布偏斜并影响规则的有效性。正确识别和处理异常值是确保准确的统计分析的重要步骤。
实际应用案例
68-95-99.7规则在各个领域都有应用。例如，在质量控制过程中，用于识别有缺陷的产品；在金融分析中，用于评估投资的风险和回报；在医疗保健研究中，用于了解患者特征；以及在许多其他领域中，了解数据分布至关重要。
在深入研究统计学时，可以考虑探索其他与68-95-99.7规则相补充的概念。倾斜度、峰度、置信区间、假设检验和回归分析只是一些可以进一步增强对数据的理解和分析的统计工具的例子。
结论
68-95-99.7规则是统计学中一个强大的概念，它基于标准差来理解数据的分布。通过应用此规则，我们可以估计落在平均值附近特定范围内的数据比例。在这篇博客中，我们使用Python和NumPy库生成了一个随机数据集，可视化并计算了每个范围所涵盖的百分比。了解这个规则使我们能够对数据进行有意义的推断，并识别出潜在的异常值或异常观察结果。