Python 高斯前向插值

高斯的前向插值是一种数值方法，它使我们能够使用一系列等间距数据点，在特定范围内确定函数在某一点的值。这种多项式插值方法使用牛顿的分差公式来计算多项式的系数。这种方法特别适用于估计给定范围内的多个等间距位置的值。我们将在本文中讨论Python的实现方法。

安装

要使用高斯的前向插值方法，可以通过以下命令安装 numpy 库，因为我们将进行复杂的数学计算。

pip install numpy

步骤

让我们首先输入函数 f(x) ，x值的范围 [a,b] ，等间距数据点的数量n，以及我们想要近似函数值的点x0。我们首先需要确定数据点之间的间距h，可以使用以下公式: h = (b-a)/(n-1) 。
接下来，我们需要创建一个数组D来存储等间距点f(x)的分差。为了做到这一点，我们可以将D[i,0]赋值为 f(a + (i-1)h) ，其中i从1到n，这将帮助我们计算D的主要部分。对于D的额外部分，我们可以使用公式: D[i,j] = (D[i,j-1] – D[i-1,j-1])/(jh) ，其中i从j+1到n，j从1到n-1。
插值多项式的系数可以在等间距点填满数组D的同时确定。
最后，我们可以使用公式: P(x0) = c[1] + (x0 – a)c[2] + (x0 – a)(x0 – a – h)c[3]/2 + … 来计算插值多项式在x0处的值。这可以通过将 c[j]等于D[j,j]，其中j从1到n。

示例

使用5个等间距数据点在范围[0,1]中近似计算sin(x)在x=0.2处的值 –

import numpy as np

# Define the function
def f(x):
   return np.sin(x)

# Set up the inputs
a = 0
b = 1
n = 5
x0 = 0.2

# Calculate the spacing
h = (b - a)/(n - 1)

# Calculate the divided differences
D = np.zeros((n,n))
for i in range(n):
   D[i,0] = f(a + i*h)
for j in range(1,n):
   for i in range(j,n):
      D[i,j] = (D[i,j-1] - D[i-1,j-1])/(j*h)

# Calculate the coefficients
c = np.zeros(n)
for j in range(n):
   c[j] = D[j,j]

# Evaluate the interpolating polynomial
P = c[0]
for j in range(1,n):
   prod = 1
   for k in range(j):
      prod = (x0 - a - k*h)
   P += prod*c[j]/np.math.factorial(j)

print("Approximation of sin(0.2): ", P)

输出

Approximation of sin(0.2):  0.20824045983077355

将函数 f(x) 定义为计算 sin(x) 。
a，b，n和x0被初始化为输入值。
将间距 h 计算为 (b – a)/(n – 1) 。
填充第一列使用均匀间隔点的函数值来计算分割差D，然后使用公式 (D[i,j-1] – D[i-1,j-1])/(j*h) 填充剩余的列。
通过取分割差矩阵的对角线来计算系数 c 。
使用系数c和输入值x0来评估插值多项式。使用prod变量计算所需k值的 (x0 – a – k*h) 的乘积。最后，使用该乘积和系数来更新变量P。
该代码的输出是 sin(0.2) 的近似值。可以根据不同的输入值和函数进行修改实现。

2. 使用4个等间距数据点在范围[1,2]中近似计算函数e^(x/2)在x = 1.5处的值 –

import numpy as np

# Define the function
def f(x):
   return np.exp(x/2)

# Set up the inputs
a = 1   # Lower limit
b = 2   # Upper limit
n = 4   # data pts count
x0 = 1.5   # Interpolation point

# Calculate the spacing
h = (b - a)/(n - 1)

# Calculate the divided differences
D = np.zeros((n,n))   # Initialize divided differences matrix
for i in range(n):
   D[i,0] = f(a + i*h)
for j in range(1,n):
   for i in range(j,n):
      D[i,j] = (D[i,j-1] - D[i-1,j-1])/(j*h)

# Calculate the coefficients
c = np.zeros(n)
for j in range(n):
   c[j] = D[j,j]

# Evaluate the interpolating polynomial
P = c[0]
for j in range(1,n):
   prod = 1
   for k in range(j):
      prod = prod * (x0 - a - k*h)
   P += prod*c[j]/np.math.factorial(j)

# Print the result
print("Approximation of e^(1.5/2): ", P)

输出

Approximation of e^(1.5/2):  2.1073059306325783

应用

Gauss的前向插值技术可以用于金融、材料科学、工程和计算机图形等各个领域。例如，它可以用来展示金融数据，如股价，以估计未来值。在物理学中，可以使用它来估计特定时间或位置的物理量的值。在工程中，可以使用它来估计一个复杂系统（例如飞机）的行为，基于少量数据。在可视化中，它可以用来增加图像中像素的变化或能量，以实现相邻像素之间的平滑过渡。