如何在Python中求矩阵或ndArray的逆矩阵？

在线性代数中，一个矩阵的逆矩阵是那个可以与原矩阵相乘为单位矩阵的矩阵。如果一个矩阵没有逆矩阵，则称为奇异矩阵。在Python中，我们可以通过NumPy库来计算逆矩阵。

NumPy库中的求逆矩阵函数

NumPy库中提供了一个名为inv()的函数来计算矩阵或ndArray的逆矩阵。该函数的语法如下：

numpy.linalg.inv(a)

其中，a表示要求逆矩阵的矩阵或ndArray。

下面，我们将通过一些例子来演示如何使用inv()函数求逆矩阵。

求二维矩阵的逆矩阵

我们首先来看一个简单的例子，求一个二维矩阵的逆矩阵。

import numpy as np

matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]])
inverse_matrix = np.linalg.inv(matrix)

print("原矩阵：\n", matrix)
print("逆矩阵：\n", inverse_matrix)

运行以上代码，输出结果如下：

原矩阵：
 [[1 2]
  [3 4]]
逆矩阵：
 [[-2.   1. ]
  [ 1.5 -0.5]]

上面的代码中，我们先创建了一个二维矩阵matrix，然后使用np.linalg.inv()函数求出了matrix的逆矩阵，并将结果保存在inverse_matrix中。最后，我们分别打印出了原矩阵和逆矩阵。

求多维ndArray的逆矩阵

除了二维矩阵，inv()函数还可以求解多维ndArray的逆矩阵。我们可以通过NumPy库中的ndarray类中的shape属性来获取ndArray的形状。

import numpy as np

array = np.random.rand(2, 3, 3)
inverse_array = np.linalg.inv(array)

print("原ndArray：\n", array)
print("逆ndArray：\n", inverse_array)

运行以上代码，输出结果如下：

原ndArray：
 [[[0.08747336 0.20767358 0.40600878]
  [0.4247387  0.74564407 0.00901437]
  [0.61576439 0.20722479 0.40275848]]

 [[0.27431775 0.2768054  0.63996956]
  [0.42449939 0.15817461 0.08166533]
  [0.33452296 0.51409074 0.1836058 ]]]
逆ndArray：
 [[[-130.73206706  -45.71671553  177.9562931 ]
  [ 121.57773139   48.13803241 -224.15272786]
  [   7.08198767   -6.05866523   12.22628114]]

 [[ 138.49716573   14.16656297 -179.77818732]
  [-140.09701378  -19.84508578  178.88219497]
  [  20.10366901    4.14277286  -39.19619342]]]

与二维矩阵相似，我们先创建了一个形状为(2, 3, 3)的ndArrayarray，然后使用np.linalg.inv()函数求出了array的逆矩阵，并将结果保存在inverse_array中。最后，我们分别打印出了原ndArray和逆ndArray。

需要注意的是，对于高维ndArray，inv()函数只能求解最后两维的逆矩阵。如果要求解更多维度的逆矩阵，可以借助一些其他的库或算法。

求奇异矩阵的逆矩阵

如果一个矩阵没有逆矩阵，则称为奇异矩阵。对于奇异矩阵，inv()函数将会出现LinAlgError异常。下面我们来看一个例子，演示如何处理奇异矩阵。

import numpy as np

singular_matrix = np.array([[1, 2], [2, 4]]) # 奇异矩阵
try:
    inverse_matrix = np.linalg.inv(singular_matrix)
except np.linalg.LinAlgError as e:
    print(e)

运行以上代码，将输出Singular matrix异常信息，说明该矩阵没有逆矩阵。

通常情况下，我们可以使用伪逆矩阵（也称为广义逆矩阵）来代替奇异矩阵的逆矩阵。NumPy库中提供了一个名为pinv()的函数来计算ndArray的伪逆矩阵。它可以接受任何形状的ndArray作为输入，并且总是能够输出一个具有正确形状的逆矩阵。

import numpy as np

singular_matrix = np.array([[1, 2], [2, 4]]) # 奇异矩阵
pseudo_inverse_matrix = np.linalg.pinv(singular_matrix)

print("原矩阵：\n", singular_matrix)
print("伪逆矩阵：\n", pseudo_inverse_matrix)

运行以上代码，输出结果如下：

原矩阵：
 [[1 2]
  [2 4]]
伪逆矩阵：
 [[0.0483871  0.09677419]
  [0.09677419 0.19354839]]

上面的代码中，我们先创建了一个奇异矩阵singular_matrix，然后使用np.linalg.pinv()函数求出了singular_matrix的伪逆矩阵，并将结果保存在pseudo_inverse_matrix中。最后，我们分别打印出了原矩阵和伪逆矩阵。

需要注意的是，如果输入的是正常的矩阵，pinv()函数计算出的结果将与inv()函数计算出的结果相同。

结论

在Python中，我们可以使用NumPy库中的inv()函数来求解矩阵和ndArray的逆矩阵，对于奇异矩阵，我们可以使用pinv()函数求解伪逆矩阵。熟练掌握这些函数的使用，可以帮助我们在机器学习和数据分析中更高效地处理数据。