如何使用Python Scikit-learn实现随机投影？

随机投影（Random Projection）是一种常用的降维技术，它通过将高维数据映射到低维空间来减少计算复杂度。随机投影不仅可以用于数据降维，还可以用于数据压缩、图像处理和文本分类等领域。本文将介绍如何使用Python Scikit-learn实现随机投影。

Scikit-learn简介

Scikit-learn是用于机器学习的Python库，它包括多种工具和算法，如分类、回归、聚类、降维等。Scikit-learn的主要特点是易于使用、高效且可扩展。它是机器学习领域最流行的Python库之一。

随机投影简介

假设有一组高维数据点 $x_1, x_2, \dots, x_n$ ，每个点的维度是 $d$ 。使用随机投影技术可以将这些数据点映射到一个 $k$ 维的低维空间 $(k<d)$ 。映射函数可以是随机矩阵，它的每个元素都是随机生成的值，或是函数变换，如 sin 函数、cos 函数等。这些随机矩阵和函数变换通常被称为“随机投影矩阵”。

随机投影的数学原理

假设有一个高维向量 $x \in R^d$ ，随机投影可以用如下公式进行计算：

$y = A \cdot x$

其中， $y \in R^k$ 表示映射到的低维向量， $A \in R^{k \times d}$ 表示随机投影矩阵。

对于一个特定的随机投影矩阵 $A$ ，我们可以通过SVD分解来确定一个最优矩阵，使得映射后的向量能够保持最大的距离，即：

$\begin{aligned} A_{opt} &= argmin_{A} ||A^T A – I|| \ &= U_k \cdot \Sigma_k \cdot V_k^T \end{aligned}$

其中 $\Sigma_k$ 是一个 $k \times k$ 的对角矩阵，其对角线上的值是 $j$ 个特征值的平方根， $U_k$ 和 $V_k$ 分别是 $d \times k$ 和 $k \times d$ 的两个矩阵，用于确定投影空间。

Scikit-learn中的随机投影

在Scikit-learn中，可以使用
“`sklearn.random_projection“`模块来实现随机投影。这个模块包括四种随机投影算法：Gaussian Random Projection、Sparse Random Projection、Johnsen-Lindenstrauss Random Projection和自定义 Random Projection。

以下是使用 Gaussian Random Projection 的示例代码：

from sklearn.random_projection import GaussianRandomProjection
from sklearn.datasets import load_iris

data = load_iris().data
n_samples, n_features = data.shape
n_components = 2

transformer = GaussianRandomProjection(n_components)
X_new = transformer.fit_transform(data)

print(X_new.shape)

该示例代码展示了如何使用 Gaussian Random Projection 将鸢尾花数据降至二维空间。输出结果为 (150, 2)，表示原始数据集中的 150 个样本被映射到了二维空间中。

自定义Random Projection

如果希望在Scikit-learn中实现自定义的随机投影算法，可以继承
“`sklearn.random_projection“`模块中的“`BaseRandomProjection“`类，并重载“`_init_transformer“`和“`_sparse_random_matrix“`方法，例如：“`

from sklearn.random_projection import BaseRandomProjection
from scipy import sparse
import numpy as np

class MyRandomProjection(BaseRandomProjection):
    def __init__(self, n_components):
        self.n_components = n_components

    def _init_transformer(self, input_space):
        self.components_ = np.random.normal(0, 1, size=(input_space, self.n_components))

    def _sparse_random_matrix(self, n_features, n_components):
        return sparse.rand(n_features, n_components, density=0.1)

data = np.random.rand(100, 20)
transformer = MyRandomProjection(10)
X_new = transformer.fit_transform(data)

print(X_new.shape)

该示例展示了如何自定义一个随机投影算法，将数据点投影到维度为10的低维空间中。

结论

本文介绍了Scikit-learn中的随机投影算法，包括 Gaussian Random Projection、Sparse Random Projection、Johnsen-Lindenstrauss Random Projection以及自定义Random Projection。随机投影可以很好地用于高维数据的降维，通过将数据映射到低维空间来减少计算复杂度和存储空间。通过Scikit-learn提供的相关工具和算法，使用Python实现随机投影变得非常容易。